10.8 数位dp

 

 

  C++ 数位 DP 代码，以「计算 [0, n] 中不含数字 '4' 和 '7' 的数的个数」为例，采用记忆化搜索实现核心逻辑

把数字拆成一位一位，用递归算每一位能填的合法数字（不含4、7），记着算过的结果避免重复算，最后得出0到n里符合要求的数有多少个。

 

#include <iostream>

#include <vector>

#include <cstring>

using namespace std;

 

// 全局变量：存储数字位、记忆化数组

vector<int> digits;

int dp[15][2];

// dp[pos][tight]：pos=当前处理位，tight=是否受上界限制（0/1）

 

// 记忆化搜索：pos=当前位，tight=是否受限，返回[当前位, 最高位]的合法数个数

int dfs(int pos, int tight)

{

    if (pos == digits.size()) return 1; // 处理完所有位，算1个合法数

    if (dp[pos][tight] != -1) return dp[pos][tight]; 

    

    int limit = tight ? digits[pos] : 9; // 当前位最大可填数字

    int res = 0;  

    for (int d = 0; d <= limit; d++)

{

        if (d == 4 || d == 7) continue; // 跳过不合法数字

        // 新的tight状态：原tight为1且当前填了limit，才继续受限

        int new_tight = tight && (d == limit);

        res += dfs(pos + 1, new_tight); // 递归处理下一位

    }   

    return dp[pos][tight] = res; 

}

 

// 计算[0, x]中合法数的个数

int count_valid(int x)

{

    digits.clear();

    memset(dp, -1, sizeof(dp)); 

    // 将x拆分为数字位（如x=234 → digits=[2,3,4]）

    if (x == 0) digits.push_back(0);

    while (x) {

        digits.push_back(x % 10);

        x /= 10;

    }

    reverse(digits.begin(), digits.end()); 

    return dfs(0, 1); // 从第0位开始

}

 

int main() {

    int n;

    cin >> n;

    // 计算[L, R]的合法数：count_valid(R) - count_valid(L-1)，此处L=0

    cout << count_valid(n) << endl;

    return 0;

}

核心逻辑说明

1. 数位拆分：将数字  n  拆分为高位到低位的数组（如  234  →  [2,3,4] ），便于逐位处理

2. 记忆化状态： dp[pos][tight]  记录「处理到第  pos  位，是否受上界限制」时的合法数个数，避免重复计算

3. DFS 递归：逐位枚举可填数字，跳过不合法数字（如本例的 4、7），根据「是否填到上界」更新  tight  状态，递归累加合法数个数