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题目

P2014 [CTSC1997] 选课

算法标签: 动态规划, 树上$dp$

思路

非常显而易见的树上$dp$问题, 可以考虑状态表示$f[u][j]$代表以$u$为根节点的子树 分配$j$个节点的最大价值

树形$dp$解法代码

在递归之前先使用父节点更新当前节点信息, 在递归之后使用子节点更新父节点信息, 这样统计的信息是全面的

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 310, M = N << 1;int n, m;
int head[N], ed[M], ne[M], idx;
int w[N];
int f[N][M];void add(int u, int v) {ed[idx] = v, ne[idx] = head[u], head[u] = idx++;
}void dfs(int u, int cnt) {if (cnt <= 0) return;for (int i = head[u]; ~i; i = ne[i]) {int v = ed[i];for (int k = 0; k < cnt; ++k) f[v][k] = f[u][k] + w[v];dfs(v, cnt - 1);for (int k = 1; k <= cnt; ++k) f[u][k] = max(f[u][k], f[v][k - 1]);}
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);memset(head, -1, sizeof head);cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i) {int fa;cin >> fa >> w[i];if (fa) add(fa, i);else add(0, i);}dfs(0, m);int ans = f[0][m];cout << ans << "\n";return 0;
}

树上背包问题解法代码

定义状态表示$f[u][i][j]$表示以$u$为根节点的子树中考虑前$i$个子节点并且总的体积不超过$j$的所有方案中, 价值最大的方案, 因为是$dfs$进行状态转移, 可以像$01$背包问题一样优化掉一维, 但是第二维的体积需要反向枚举

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 310, M = N << 1;int n, m;
int head[N], ed[M], ne[M], idx;
int f[N][M];void add(int u, int v) {ed[idx] = v, ne[idx] = head[u], head[u] = idx++;
}void dfs(int u) {for (int i = head[u]; ~i; i = ne[i]) {int v = ed[i];dfs(v);for (int j = m; j >= 0; --j) {for (int k = 0; k < j; ++k) {f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - k] + f[v][k]);}}}
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);memset(head, -1, sizeof head);cin >> n >> m;m++;for (int i = 1; i <= n; ++i) {int fa;cin >> fa >> f[i][1];add(fa, i);}dfs(0);int ans = f[0][m];cout << ans << "\n";return 0;
}