ERT中正问题和逆问题的传统数学推导
在基于电阻抗断层成像（ERT）的机器人皮肤研究中，正问题与逆问题是核心理论基础。正问题聚焦于 “已知电导率分布，求解边界电位”，逆问题则是 “已知边界测量电压，反推电导率分布”，二者的公式推导均围绕 ERT 的物理本质与数学建模展开。
目录
一、ERT 正问题的公式推导
（一）基础物理假设与方程建立
（二）有限元法（FEM）的网络建模
（三）基于电极的网络简化
（四）电导率变化与电压变化的关系
二、ERT 逆问题的公式推导
（一）逆问题的线性化近似
（二）正则化处理：解决不适定性
（三）正则化解的求解
三、正逆问题的关系与工程意义
一、ERT 正问题的公式推导
正问题的核心是基于电磁学基本定律，建立电导率分布与边界电位的数学关系，最终实现 “给定电导率，计算边界电压” 的目标，推导过程需结合物理假设、方程建立与网络简化三个关键步骤。
（一）基础物理假设与方程建立
ERT 正问题的推导基于直流条件与无内部电流源的核心假设，这是因为机器人皮肤的触觉感知场景中，电流激励为稳定直流，且传感器内部无额外电流生成源。在此假设下，根据麦克斯韦方程组，可简化得到电导率分布与电位的基本关系。
对于传感器的导电区域\(\Omega\)（即机器人皮肤的感应域）及其边界\(\partial \Omega\)，电流的连续性要求电荷不会在区域内积累，因此电位\(\phi\)需满足拉普拉斯方程的扩展形式：
\(\nabla \cdot(\sigma \nabla \phi)=0 \quad \text{in } \Omega \quad (1)\)
其中，\(\sigma\)为导电区域的电导率分布（空间位置的函数，反映区域导电能力），\(\nabla\)为梯度算子，\(\nabla \cdot\)为散度算子。该方程的物理意义是：电导率与电位梯度的乘积（即电流密度）在导电区域内无散度，意味着电流仅沿边界流入 / 流出，符合直流无内源的假设。
为求解方程（1），需补充边界条件。在传感器的电极处，电流通过电极注入 / 流出导电区域，因此边界\(\partial \Omega\)上的电流密度j（单位面积的电流）与电位梯度满足欧姆定律的边界形式：
\(j=\sigma \nabla \phi \cdot \boldsymbol{n} \quad \text{on } \partial \Omega \quad (2)\)
其中，\(\boldsymbol{n}\)为边界\(\partial \Omega\)的外法向单位向量（用于定义电流流出区域的方向），j为已知量（由电流源控制的注入电流密度）。方程（2）明确了边界上 “电位梯度与电流密度” 的定量关系，为方程（1）提供了求解约束，此时正问题转化为 “狄利克雷 - 诺伊曼边值问题”（一种典型的偏微分方程求解问题）。
（二）有限元法（FEM）的网络建模
方程（1）是偏微分方程，无法直接用于工程计算，需通过有限元法离散化，将连续的导电区域\(\Omega\)转化为离散的 “电阻网络”（即等效电路模型），这一步是连接理论与工程实现的关键。
离散化过程中，导电区域\(\Omega\)被划分为多个小的 “有限元单元”，每个单元的电导率视为均匀（局部近似），单元间通过 “节点” 连接。此时，整个导电区域可等效为一个由电阻组成的无源网络，其电学行为可用传递阻抗矩阵\(R(\sigma) \in \mathbb{R}^{N \times N}\)描述（N为有限元节点总数），矩阵中的元素\(R_{ij}(\sigma)\)表示节点i与j之间的等效阻抗，且与电导率分布\(\sigma\)相关。
对于该等效网络，通过节点的电流\(i \in \mathbb{R}^{N}\)（\(i_k\)为流入节点k的电流）与节点间的电位差\(v \in \mathbb{R}^{N}\)（\(v_k\)为节点k相对于参考点的电位）满足欧姆定律的矩阵形式：\(v(\cdot ; \sigma, i)=R(\sigma) \cdot i \quad (3)\)方程（3）的物理意义是：等效网络的电位分布由传递阻抗矩阵与注入电流共同决定，已知\(\sigma\)（即已知\(R(\sigma)\)）和i，即可计算出所有节点的电位v。
（三）基于电极的网络简化
在机器人皮肤的实际应用中，电流仅通过电极注入 / 流出导电区域（非电极区域无电流交换），因此无需计算所有有限元节点的电位，仅需关注电极对应的节点。设传感器共有L个电极，对应的节点为 “电极节点”，其余节点为 “非电极节点”（无电流注入，对边界测量无影响）。
通过数学上的 “降维处理”，可忽略非电极节点，将传递阻抗矩阵\(R(\sigma)\)简化为仅包含电极节点的简化传递阻抗矩阵\(S(\sigma) \in \mathbb{R}^{L \times L}\)。此时，注入电极的电流向量\(p \in \mathbb{R}^{L}\)（\(p_k\)为注入第k个电极的电流）与电极上的电位向量\(\hat{v} \in \mathbb{R}^{L}\)（\(\hat{v}_k\)为第k个电极的电位）满足：
\(\hat{v}(\cdot ; \sigma, p)=S(\sigma) \cdot p \quad (4)\)
方程（4）是正问题的 “工程核心公式”—— 已知电极电流p与电导率\(\sigma\)（即\(S(\sigma)\)），即可直接计算电极处的电位\(\hat{v}\)，为后续逆问题的 “电压测量” 提供理论依据。
（四）电导率变化与电压变化的关系
当机器人皮肤受到触觉按压（如 indentation 实验中的压痕）时，导电区域的局部电导率会发生变化（记为\(\Delta \sigma\)），此时电极电位也会相应变化（记为\(\Delta \hat{v}\)）。为量化这种变化关系，对公式（4）进行差分近似（假设\(\Delta \sigma\)较小，变化呈线性）：
\(\Delta \hat{v}=S(\sigma+\Delta \sigma) \cdot p - S(\sigma) \cdot p = \Delta S \cdot p \quad (5)\)
其中，\(\Delta S = S(\sigma+\Delta \sigma) - S(\sigma)\)为简化传递阻抗矩阵的变化量。
在实际测量中，需通过 “测量模式” 提取特定电极对的电位差（而非单个电极的电位），设测量模式矩阵为\(M \in \mathbb{R}^{L \times m}\)（m为测量次数），电流注入模式矩阵为\(P \in \mathbb{R}^{L \times n}\)（n为注入次数），则整体的电压变化矩阵\(\Delta E \in \mathbb{R}^{m \times n}\)（包含所有注入 - 测量组合的电压变化）可表示为：
\(\Delta E = M^T \cdot \Delta S \cdot P \quad (6)\)
通过 “向量化” 操作（将矩阵转化为向量，便于计算），引入克罗内克积\(\otimes\)，可进一步将公式（6）转化为线性关系：
\(\Delta E_{\text{vec}} = (P^T \otimes M^T) \cdot \Delta S_{\text{vec}} = G \cdot \Delta S_{\text{vec}} = J \cdot \Delta \sigma \quad (7)\)
其中，\(\Delta E_{\text{vec}}\)、\(\Delta S_{\text{vec}}\)分别为\(\Delta E\)、\(\Delta S\)的向量化结果，\(G \in \mathbb{R}^{mn \times L^2}\)为模式转换矩阵，\(J \in \mathbb{R}^{mn \times M}\)（M为电导率离散网格数）为雅可比矩阵。公式（7）是正问题与逆问题的 “桥梁”—— 它建立了电导率变化\(\Delta \sigma\)与测量电压变化\(\Delta E_{\text{vec}}\)的线性关系，为逆问题的求解奠定基础。
二、ERT 逆问题的公式推导
逆问题的核心是 “已知边界测量电压\(\Delta E\)，反推电导率变化\(\Delta \sigma\)”，但由于该问题存在不适定性（测量噪声会导致解的剧烈波动）与非线性（公式（7）是近似线性，实际\(\Delta \sigma\)较大时非线性显著），推导需围绕 “线性化近似” 与 “正则化稳定” 展开。
（一）逆问题的线性化近似
逆问题的原始关系由公式（7）给出，但直接求解\(\Delta \sigma = J^{-1} \cdot \Delta E_{\text{vec}}\)存在两个问题：一是J通常为 “长方阵”（行数远大于列数，测量次数多于电导率网格数），不存在逆矩阵；二是实际测量存在噪声w（如电路噪声、环境干扰），需将噪声纳入模型。
因此，首先将逆问题转化为线性化方程，考虑测量噪声w后，公式（7）修正为：
\(\Delta E_{\text{vec}} = J \cdot \Delta \sigma + w \quad (8)\)
其中，\(w \in \mathbb{R}^{mn}\)为测量噪声向量，满足零均值高斯分布（工程中常见的噪声假设）。公式（8）的物理意义是：测量电压变化由 “电导率变化贡献” 与 “噪声贡献” 两部分组成，逆问题需从\(\Delta E_{\text{vec}}\)中 “剥离噪声” 并求解\(\Delta \sigma\)。
（二）正则化处理：解决不适定性
直接对公式（8）求解 “最小二乘解”（即\(\min \|\Delta E_{\text{vec}} - J \cdot \Delta \sigma\|_2^2\)）会因J的列秩不足（信息冗余）导致解的不稳定性 —— 微小的噪声w会使\(\Delta \sigma\)的估计值产生巨大偏差，无法用于机器人皮肤的触觉定位。
为解决这一问题，需引入正则化，即通过 “先验信息” 约束解的范围，使解更符合物理实际（如电导率变化应连续、局部集中，而非分散无规律）。正则化的核心是构造 “代价函数”，将 “数据拟合项”（最小化测量误差）与 “正则化项”（约束解的平滑性）结合：
\(\lambda(\Delta \sigma) = \|\delta E - J \cdot \Delta \sigma\|_2^2 + \|\alpha \cdot \Gamma \cdot \Delta \sigma\|_2^2 \quad (9)\)
其中：
- \(\delta E\)为实际测量的电压变化向量（即\(\Delta E_{\text{vec}}\)的实测值）；
- \(\|\cdot\|_2^2\)为\(L_2\)范数的平方（用于量化误差大小）；
- \(\Gamma \in \mathbb{R}^{M \times M}\)为正则化矩阵，由先验信息确定（如 “空间高通滤波器” 约束电导率变化的空间平滑性，或 “NOSER 算法” 约束解的稀疏性）；
- \(\alpha > 0\)为正则化参数，用于平衡 “数据拟合精度” 与 “解的稳定性”——\(\alpha\)越大，解越平滑但拟合误差可能增大；\(\alpha\)越小，拟合误差越小但解越不稳定。
（三）正则化解的求解
对公式（9）的代价函数\(\lambda(\Delta \sigma)\)求关于\(\Delta \sigma\)的偏导数，并令偏导数为零（极值条件），可得到闭式解（解析解）。具体推导如下：
- 展开代价函数：\(\lambda(\Delta \sigma) = (\delta E - J \cdot \Delta \sigma)^T \cdot (\delta E - J \cdot \Delta \sigma) + (\alpha \cdot \Gamma \cdot \Delta \sigma)^T \cdot (\alpha \cdot \Gamma \cdot \Delta \sigma)\)
- 对\(\Delta \sigma\)求偏导并令其为零：\(\frac{\partial \lambda}{\partial \Delta \sigma} = -2 J^T \cdot (\delta E - J \cdot \Delta \sigma) + 2 \alpha^2 \cdot \Gamma^T \cdot \Gamma \cdot \Delta \sigma = 0\)
- 整理后得到：\(J^T \cdot J \cdot \Delta \sigma + \alpha^2 \cdot \Gamma^T \cdot \Gamma \cdot \Delta \sigma = J^T \cdot \delta E\)
- 提取\(\Delta \sigma\)并求解：\(\Delta \tilde{\sigma} = \left(J^T \cdot J + \alpha^2 \cdot \Gamma^T \cdot \Gamma\right)^{-1} \cdot J^T \cdot \delta E = Q \cdot \delta E \quad (10)\)其中，\(Q = \left(J^T \cdot J + \alpha^2 \cdot \Gamma^T \cdot \Gamma\right)^{-1} \cdot J^T\)为正则化线性重建矩阵，\(\Delta \tilde{\sigma}\)为电导率变化的 “稳定估计值”。
公式（10）是逆问题的 “最终求解公式”—— 已知测量电压\(\delta E\)与雅可比矩阵J，通过计算Q即可得到电导率变化\(\Delta \tilde{\sigma}\)，进而反推机器人皮肤受到按压的位置（电导率变化的集中区域），实现触觉感知的核心功能。
三、正逆问题的关系与工程意义
ERT 的正问题与逆问题是 “互为逆过程” 的统一体，二者的公式推导共同构成了机器人皮肤触觉感知的理论框架，具体关系与意义如下：
| 维度 | 正问题（公式 1-7） | 逆问题（公式 8-10） |
|---|---|---|
| 核心目标 | 已知\(\sigma\)，计算\(\Delta E\) | 已知\(\Delta E\)，反推\(\sigma\) |
| 数学本质 | 偏微分方程求解（正向建模） | 不适定线性方程组求解（反向反演） |
| 关键矩阵 | 传递阻抗矩阵\(S(\sigma)\)、雅可比矩阵J | 正则化重建矩阵Q |
| 工程作用 | 生成仿真数据（用于 DNN 训练） | 处理实测数据（实现触觉定位） |