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从最简单的操作开始

如何利用这个原子操作实现一个具体的小目标？

我们来手动模拟一下：

如何从一个小目标扩展到最终目标？

代码的逐步完善

第一阶段：定义函数框架和我们需要的“原子操作”

第二阶段：实现“多趟”的逻辑（外层循环）

第三阶段：实现每一趟的“比较交换”逻辑（内层循环）

思考与优化

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从最简单的操作开始

📌我们的目标： 将一个无序的数组，例如 [5, 1, 4, 2, 8]，变成有序的 [1, 2, 4, 5, 8]。

面对这个任务，最直接、最“笨”的思考方式是什么？不是去想什么宏大的整体策略，而是思考：

我能做的最小的、能让数组变得“更”有序一点点的操作是什么？

这个最小的操作就是：只看相邻的两个元素。

比如，我们先看 [5, 1]。在最终排好序的数组里，1 肯定在 5 的前面。而现在它们的顺序是错的。怎么办？很简单：把它们换过来！✅

[5, 1, 4, 2, 8] -> 交换 5 和 1 -> [1, 5, 4, 2, 8]

这个 “比较相邻元素，如果顺序错了就交换” 的操作，就是冒泡排序算法最核心的原子操作。它非常简单，但通过重复这个简单的操作，我们就能完成整个排序的宏伟目标。

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如何利用这个原子操作实现一个具体的小目标？

我们不能漫无目的地到处交换。我们需要一个策略。与其想着如何把整个数组排好序，不如先定一个更小、更容易实现的目标：

“我们能否通过这个原子操作，把数组中最大的那个元素，放到它最终应该在的位置上？”

答案是可以的。最大的元素最终应该在数组的最右边。我们怎么把它“弄”过去呢？

我们可以从数组的左边开始，一路向右，不停地执行我们的“原子操作”。

我们来手动模拟一下：

假设数组是 arr = [5, 1, 4, 2, 8]，长度 n = 5。

1. 比较 arr[0] 和 arr[1]:

• [ **5, 1** , 4, 2, 8]

• 5 > 1，顺序错了，交换。

• 数组变为: [ **1, 5** , 4, 2, 8]

2. 比较 arr[1] 和 arr[2]:

• [1, **5, 4** , 2, 8]

• 5 > 4，顺序错了，交换。

• 数组变为: [1, **4, 5** , 2, 8]

3. 比较 arr[2] 和 arr[3]:

• [1, 4, **5, 2** , 8]

• 5 > 2，顺序错了，交换。

• 数组变为: [1, 4, **2, 5** , 8]

4. 比较 arr[3] 和 arr[4]:

• [1, 4, 2, **5, 8** ]

• 5 < 8，顺序是正确的，什么都不做。

• 数组保持: [1, 4, 2, 5, 8]

经过这样从左到右的一整轮操作，我们观察结果 [1, 4, 2, 5, 8]。我们成功了吗？

是的！最大的元素 8 已经被我们“护送”到了数组的最末端，也就是它最终应该在的位置。

这个过程就像水中的气泡，最大的那个总是最先“咕噜咕噜”地冒到水面。这就是“冒泡排序”这个名字的由来。我们把这样一整轮从头到尾的比较交换过程，称为一趟 (Pass)。

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如何从一个小目标扩展到最终目标？

我们已经完成了一趟，成功地将n个元素中最大的一个归位了。现在数组是 [1, 4, 2, 5, | 8] (用 | 把已归位的元素隔开)。

接下来怎么办？

很简单，我们把已经归位的 8 忽略掉，把前面的 [1, 4, 2, 5] 看作是一个规模更小的新问题。

我们只需要对这个新的、长度为 n-1 的数组，重复刚才一模一样的操作。

👉 我们来模拟第二趟：

1. 比较 arr[0] 和 arr[1]: [ **1, 4** , 2, 5, | 8] -> 1 < 4，不交换。

2. 比较 arr[1] 和 arr[2]: [1, **4, 2** , 5, | 8] -> 4 > 2，交换 -> [1, 2, 4, 5, | 8]

3. 比较 arr[2] 和 arr[3]: [1, 2, **4, 5** , | 8] -> 4 < 5，不交换。

第二趟结束后，数组变为 [1, 2, 4, | 5, 8]。看，现在次大的元素 5 也归位了！

📈 这个逻辑可以一直重复下去。

• 第三趟，对 [1, 2, 4] 操作，会把 4 归位。

• 第四趟，对 [1, 2] 操作，会把 2 归位。

• 当只剩下 1 的时候，它自然就在正确的位置了。

我们需要多少趟呢？对于一个有n个元素的数组，最多需要 n-1 趟，就能把所有元素都排好序。

这个“重复执行”的思路，在编程里天然就对应着循环✅。

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代码的逐步完善

现在，我们把上面的推导翻译成代码。

第一阶段：定义函数框架和我们需要的“原子操作”

我们知道肯定需要一个排序函数，并且排序过程中必然要用到“交换”这个原子操作。

// C/C++ 中，要在函数内部修改外部变量的值，需要使用指针
void swap(int* a, int* b) {int temp = *a;*a = *b;*b = temp;
}// 冒泡排序函数的整体框架
// arr 是要排序的数组，n 是数组的长度
void bubbleSort(int arr[], int n) {// 排序逻辑将在这里实现
}

第二阶段：实现“多趟”的逻辑（外层循环）

根据我们的推导，需要重复执行 n-1 趟排序。所以我们需要一个循环来控制这个“趟数”。

void bubbleSort(int arr[], int n) {// 这个外层循环控制总共需要多少“趟” (Pass)// i 表示已经有多少个元素在数组末尾归位了for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {// 在这里实现每一趟具体的比较和交换逻辑}
}

第三阶段：实现每一趟的“比较交换”逻辑（内层循环）

在每一趟中，我们从数组的第一个元素开始，向后两两比较。 关键点：比较到哪里为止？

• 第一趟 (i=0)，n个元素都未排序，要比较 n-1 次，检查到 arr[n-2] 和 arr[n-1] 为止。

• 第二趟 (i=1)，最后1个元素已归位，只需要处理前面 n-1 个元素，比较 n-2 次，检查到 arr[n-3] 和 arr[n-2] 为止。

• 第 i 趟，最后 i 个元素已归位，比较范围是 n-1-i 次。

这个逻辑正好可以用另一个循环，也就是内层循环来实现。

#include <iostream> // 为了方便打印结果void swap(int* a, int* b) {int temp = *a;*a = *b;*b = temp;
}void bubbleSort(int arr[], int n) {// 外层循环，控制“趟数”for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {// 内层循环，控制每一趟中的“比较与交换”// 范围是 n - 1 - i，因为每过一趟，末尾就多一个排好的数for (int j = 0; j < n - 1 - i; ++j) {// 这就是我们的“原子操作”if (arr[j] > arr[j+1]) {swap(&arr[j], &arr[j+1]);}}// 我们可以加一句打印，来观察每一趟之后的结果std::cout << "第 " << i + 1 << " 趟排序后: ";for(int k=0; k<n; ++k) std::cout << arr[k] << " ";std::cout << std::endl;}
}

至此，一个可以正确工作的冒泡排序算法就完成了。它完美地复现了我们从第一性原理出发的推导过程。

复杂度分析

最好情况（数组有序）：只需要一趟扫描，比较 n−1 次，没有交换 → 时间复杂度： O(n)

最坏情况（数组逆序）：每次都需要比较并交换 → 时间复杂度： O(n^2)

空间复杂度：冒泡排序是 原地排序，只需常数个辅助空间 → O(1)

稳定性

冒泡排序是 稳定的。

• 原因：只有在 a[j] > a[j+1] 时才交换，如果相等，不动。

• 因此相同元素的前后顺序不会被破坏。

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思考与优化

我们的算法已经能用了，但它是不是最聪明的？有没有什么情况下它做了“无用功”？

💡设想一个情况：arr = [1, 2, 3, 5, 4]。

• 第一趟后，4和5交换，数组变为 [1, 2, 3, 4, 5]。

• 此时数组已经完全有序了。

但是，我们上面的代码并不知道这一点。它会继续傻傻地执行第二趟、第三趟、第四趟，虽然在这些趟中一次交换都不会发生。这显然是浪费。

优化的第一性原理： 如果我们发现某一趟从头到尾走下来，一次交换都没有发生，这说明了什么？

这说明数组中每一个元素都已经不大于它的后一个元素了，也就是说，整个数组已经完全有序了！

那么，我们就可以提前结束排序，而不必执行后面多余的趟数。

最终阶段：完善代码，加入优化

我们可以在每一趟开始前，设置一个标志位 swapped = false。如果在这一趟中发生了交换，就把它设为 true。

一趟结束后，检查这个标志位。如果它仍然是 false，说明没发生任何交换，我们就可以直接 break 退出外层循环。

// 优化后的冒泡排序
void bubbleSortOptimized(int arr[], int n) {// 外层循环，控制“趟数”for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {bool swapped = false; // 设立标志位// 内层循环for (int j = 0; j < n - 1 - i; ++j) {if (arr[j] > arr[j+1]) {swap(&arr[j], &arr[j+1]);swapped = true; // 只要发生一次交换，就将标志位置为true}}// 检查标志位：如果在一整趟中都没有发生交换，说明已经有序if (swapped == false) {std::cout << "在第 " << i + 1 << " 趟后提前结束。" << std::endl;break; // 退出外层循环}std::cout << "第 " << i + 1 << " 趟排序后: ";for(int k=0; k<n; ++k) std::cout << arr[k] << " ";std::cout << std::endl;}
}

这样，我们就从最基本的“交换相邻错误元素”这个原子操作出发，通过“完成小目标 -> 重复操作 -> 发现冗余 -> 加入判断”这一系列逻辑严谨的推导，最终构建出了一个完整且经过优化的冒泡排序算法。