常微万能计算机解法

o(n)解常微分方程，y为函数n阶导，p为任意x的函数

例如设yn 是y的n阶导，p(n)是常微分方程y的n阶导函数的系数，pn的积分为pn-1，pn-1求导为

Q = p(n)yn + p(n-1)yn-1 +  p(n-2)yn-2 + ..... = p(0)

t0=p0
当i>0
情况1：设p0的i阶求导/pi=ti

情况2：如果p0的k阶导等于0，k小于等于n

i<=k时

ti=x^i/pi

并且pk+1yk+1+pk+2yk+2+.....+pnyn=0

情况一：设y的解为k0t0+k1t1+k2t2+..+kntn形式，
y=t0=p0，
所以y=k1t1+k2t2+..+kntn代入方程得0，所以t0是y=k1t1+kt2+....+kntn是方程的一个扩解
y求一阶导，y=p0¹+k2t2一阶导....+kntn一阶导
=p0¹
所以有y=k2t2....+kntn，代入方程得0，
所以y=k1t1+k2t2+....+kntn代入方程得p0是y=k2t2+....+kntn代入方程得0的一个特解

所以t1是pnyn+pn-1yn-1+.....+p2y2+p1y1=p0的一个扩解，所以t1可以作为

y=k1t1+k2t2+..+kntn的一个基，因为t1可以被解y线性表示
同理t1，t2，...，tn是y的一个基
先看当k1，k2，...，kn唯一
如果t0，t1，tn线性无关，
充分，n个方程约束，最多有n个基
必要，n个基可以推出一个解

矩阵
k0t0   k0t0一阶导.....  k0t0  n阶导

k1t1一阶积分  k1t1 ..... k1t1 n-1阶导
......

kntn  n阶积分.....              kntn1阶导

的转置乘以向量
-1   p1  p2  ......pn
等于

p(0) p(0)一阶导  p(0)二阶导...p(0)n阶导

所以n+1个方程n+1个未知数，得证

如果线性相关，

设y=k1t1+k2t2+..+kntn
可以写成y=k1t2+k2t2+....+kntm  (m<n)
，同理代入，得m个未知数，n个方程，同理只要m个特解就可以表示方程

情况二，按照情况1求出t1，t2，....，tk，

再求
pk+1yk+1+pk+2yk+2+.....+pnyn=0的解
和求通解一样

求通解
pnyn+pn-1yn-1+.....+p2y2+p1y1=0

y1 = y1(0) + y2(0)x + y3(0)/2！x^2
+ y4/3！x^3+.....+ M(y(n+1)/n!*x ^ n)
y2 = y2(0) +y3(0)/1！x
+ y4(0)/3！x^2+.....+ M(y(n+1)/n!*x ^ n)

 

....

yn= yn(0) +M(y(n+1)/n!*x ^ n)

p1,p2,p3,....pn泰勒展开相乘
全部泰勒展开，

 

得到常数项，一次项，二次项，....,余子式项系数全部为0

piyi  对应的  Mi之和，Mi有n个，所以余子式展开到y2n项，

就有n个Mi，n个方程组，可以解出n个Mi

可以列行列式等于0，求解y1(0),y2(0),....,yn(0), 和 余子式M

每个Mi可以知道其原函数。