质因数分解的数学奥秘与高效解法(洛谷P1075)

问题重述与核心思路

题目要求我们：已知正整数n是两个不同质数的乘积，求出较大的那个质数。这是一道典型的数论问题，考察质数判断和因数分解的基本功。

数学本质

根据算术基本定理，每个合数都可以唯一表示为质数的乘积。题目中n=p×q（p<q），我们需要找到q。

解法一：暴力枚举法（适合初学者）

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;bool isPrime(int num) {if (num < 2) return false;for(int i=2; i*i<=num; i++) {if(num % i == 0) return false;}return true;
}int main() {int n;cin >> n;for(int i=2; i<=n/2; i++) {if(n%i == 0 && isPrime(i) && isPrime(n/i)) {cout << n/i;return 0;}}return 0;
}

时间复杂度分析：

• 最坏情况：O(√n × √n) = O(n)
• 当n=2×10⁹时，可能超时

解法二：优化策略（数学性质利用）

关键观察

1. n只有两个质因数
2. 较小的质因数p ≤ √n
3. 较大的质因数q = n/p

优化版代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;for(int i=2; i*i<=n; i++) {if(n%i == 0) {cout << n/i;return 0;}}return 0;
}

优化点：

1. 无需质数判断：因为n只有两个质因数，第一个能整除n的数必定是质数
2. 循环范围缩小到√n

时间复杂度：

• 最坏情况：O(√n)
• 2×10⁹的平方根≈44721，完全在时限内

数学证明与正确性

定理：若n=p×q（p<q且都是质数），则p ≤ √n < q

证明：

1. 假设p > √n
2. 则q = n/p < n/√n = √n
3. 这与p < q矛盾
4. 故p ≤ √n

测试用例与验证

输入n	预期输出	验证说明
21	7	3×7=21
15	5	3×5=15
35	7	5×7=35
121	11	11×11=121（但题目保证不同质数）
999999937	999999937	边界测试（最大质数之一）

竞赛技巧与注意事项

1. 输入范围处理：

   // 确保n在合法范围内
   if(n < 1 || n > 2e9) {cout << "Invalid input";return 1;
   }
   

2. 特殊值处理：

   • n=4（2×2）但题目保证不同质数
   • n为质数时无解（题目保证n是两质数乘积）

3. 性能优化：

                使用更快的输入输出：

ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);

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总结与提升

这道题教会我们：

1. 数学性质优先：利用数学规律可以大幅优化算法
2. 边界思维：考虑极端情况下的表现
3. 复杂度意识：明确算法的时间复杂度上限

"在算法竞赛中，数学洞察力往往比蛮力计算更重要" —— 通过这道题，我们深刻理解了数学优化在算法中的威力

拓展思考：如果题目改为"n可能是多个质数的乘积"，该如何解决？欢迎在评论区讨论！

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