系数调整：四项平方和的最小值攻略

🔍 题目描述

已知实数 $a$，$b$，$c$，$d$ 满足 $ab+bc+cd+da=1$，求 $a^2+2b^2+3c^2+4d^2$ 的最小值．
（2021年清华大学强基计划试题）

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💡 解法一：柯西不等式 + 均值不等式

步骤 1：重组条件
由 $ab+bc+cd+da=1$，因式分解得：
$$(a+c)(b+d)=1\text{(关键代数变形！)}$$

步骤 2：对 $(a^2+3c^2)$ 和 $(2b^2+4d^2)$ 分别用柯西不等式

• 第一组： $(a^2+3c^2)(1+\frac{1}{3})\ge (a+c{)}^2$
  即$a^2+3c^2\ge \frac{3}{4}(a+c{)}^2\text{①}$
  ⚠️ 等号成立条件：$a:c=3:1$．

• 第二组： $(2b^2+4d^2)(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})\ge (b+d{)}^2$
  即$2b^2+4d^2\ge \frac{4}{3}(b+d{)}^2\text{②}$
  ⚠️ 等号成立条件： $b:d=2:1$．

步骤 3：结合 $\text{①}$、$\text{②}$ 与条件
将 $\text{①}$$\text{②}$ 相加，并利用 $(a+c)(b+d)=1$：
$$\begin{array}{rl}& a^2+2b^2+3c^2+4d^2\\ \ge & \frac{3}{4}(a+c{)}^2+\frac{4}{3}(b+d{)}^2\\ \ge & 2\sqrt{\frac{3}{4}(a+c{)}^2\cdot \frac{4}{3}(b+d{)}^2}\text{(均值不等式)}\\ =& 2\cdot |(a+c)(b+d)|\\ =& 2\times 1=2．\end{array}$$
💡 连续两次放缩：第一次柯西，第二次均值，最终锁定最小值 2．

步骤 4：验证等号条件
联立比例关系与约束条件：
$$\begin{array}{rl}a:c& =3:1,\\ b:d& =2:1,\\ (a+c):(b+d)& =4:3,\\ (a+c)(b+d)& =1.\end{array}$$
即$a:b:c:d=3:2:1:1$，
解得 $a=\frac{\sqrt{3}}{2},b=\frac{\sqrt{3}}{3},c=d=\frac{\sqrt{3}}{6}$
（或全取负数）

代入目标式验算：
$$\begin{array}{rl}& a^2+2b^2+3c^2+4d^2\\ =& \frac{3}{4}+2\cdot \frac{1}{3}+3\cdot \frac{1}{12}+4\cdot \frac{1}{12}\\ =& \frac{3}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\\ =& 2\end{array}$$
✅ 最小值确为 2．

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💡 解法二：均值不等式链（系数调配）

目标式拆解：
$$\begin{array}{rl}& a^2+2b^2+3c^2+4d^2\\ =& (\frac{2}{3}{a}^2+\frac{3}{2}{b}^2)+(\frac{1}{2}{b}^2+2c^2)\\ & +(c^2+d^2)+(3d^2+\frac{1}{3}{a}^2)\end{array}$$

对每组括号用均值不等式：
$$\begin{array}{rlr}\frac{2}{3}{a}^2+\frac{3}{2}{b}^2& \ge 2\sqrt{\frac{2}{3}{a}^2\cdot \frac{3}{2}{b}^2}& =2|ab|,\\ \frac{1}{2}{b}^2+2c^2& \ge 2\sqrt{\frac{1}{2}{b}^2\cdot 2c^2}& =2|bc|,\\ c^2+d^2& \ge 2\sqrt{c^2\cdot d^2}& =2|cd|,\\ 3d^2+\frac{1}{3}{a}^2& \ge 2\sqrt{3d^2\cdot \frac{1}{3}{a}^2}& =2|da|.\end{array}$$

四式相加：
$$\begin{array}{rl}& a^2+2b^2+3c^2+4d^2\\ \ge & 2(|ab|+|bc|+|cd|+|da|)\\ \ge & 2(ab+bc+cd+da)\\ =& 2\times 1=2\end{array}$$
💡 拆分的系数恰好使交叉项匹配 $ab,bc,cd,da$．
⚠️ 等号成立条件：$a:b:c:d=3:2:1:1$，与前法一致．