三角函数公式全归纳

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前言

笔者高中牲，之前学习三角函数有关知识时，总容易忘这忘那，所以特意整理了一下，方便复习，这里也分享给大家。

诱导公式

“奇变偶不变，符号看象限”

公式一	公式二	公式三
$\sin (\alpha +2k\pi )=\sin \alpha$ $(k\in \mathbb{Z})$	$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$	$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$
$\cos (\alpha +2k\pi )=\cos \alpha$ $(k\in \mathbb{Z})$	$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$	$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$
$\tan (\alpha +2k\pi )=\tan \alpha$ $(k\in \mathbb{Z})$	$\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$	$\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$

公式四	公式五	公式六
$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$	$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$	$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$
$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$	$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$	$\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$
$\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$	$\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\frac{1}{\tan \alpha }$	$\tan (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\frac{1}{\tan \alpha }$

基本公式

同角三角函数关系

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$

和差公式

$S_{(\alpha \pm \beta )}:\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
$C_{(\alpha \pm \beta )}:\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
$T_{(\alpha \pm \beta )}:\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

二倍角公式

$S_{2\alpha }:\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$
$C_{2\alpha }:\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$
$T_{2\alpha }:\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

辅助角公式

$a\sin \alpha +b\cos \alpha =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\alpha +\phi )=\sqrt{a^2+b^2}\cos (\alpha -\theta )$
其中$\tan \phi =\frac{b}{a}$，$\tan \theta =\frac{a}{b}$

重要公式

降幂公式

${\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha )$
${\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha )$

升幂公式

$1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$
$1-\cos 2\alpha =2{\sin }^2\alpha$
$1+\sin \alpha =(\sin \frac{\alpha }{2}+\cos \frac{\alpha }{2}{)}^2$
$1-\sin \alpha =(\sin \frac{\alpha }{2}-\cos \frac{\alpha }{2}{)}^2$

逆用倍角公式

$\sin \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{2\cos \alpha }$
$\cos \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{2\sin \alpha }$
${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha$
$2\tan \alpha =\tan 2\alpha (1-{\tan }^2\alpha )$

变形

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =(\cos \alpha +\sin \alpha )(\cos \alpha -\sin \alpha )$

积化和差

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$
$\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$
$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$
$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$

和差化积

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$
$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}.$
$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$
$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

半角公式

$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$
$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$
$\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$
$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$

其它公式

三倍角公式

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$
$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$
$\tan 3\alpha =\frac{3\tan \alpha -{\tan }^3\alpha }{1-3{\tan }^2\alpha }$

万能公式

$\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{{\tan }^2\frac{\alpha }{2}+1}$

$\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

$\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

类平方差公式

${\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta =\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )$
${\cos }^2\alpha -{\cos }^2\beta =-\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )$
${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\beta =\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )$

重要结论

常见辅助角结论

$\sin x\pm \cos x=\sqrt{2}\sin (x\pm \frac{\pi }{4})$
$\cos x\pm \sin x=\sqrt{2}\cos (\alpha \mp \frac{\pi }{4})$
$\sin x\pm \sqrt{3}\cos x=2\sin (x\pm \frac{\pi }{3})$
$\cos x\pm \sqrt{3}\sin x=2\cos (x\mp \frac{\pi }{3})$

特殊三角函数

$15^{\circ }$	$18^{\circ }$	$36^{\circ }$
$\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\sin 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\sin 36^{\circ }=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$
$\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\cos 18^{\circ }=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$	$\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$	$\tan 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$	$\tan 36^{\circ }=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}$

三角形内常见结论

$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C$（斜三角形）