动规：01背包

背包问题概述

背包问题 (Knapsack problem) 是⼀种组合优化的 NP完全问题。

问题可以描述为：给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。

根据物品的个数，分为如下⼏类：

• 01 背包问题：每个物品只有⼀个

• 完全背包问题：每个物品有⽆限多个

• 多重背包问题：每件物品最多有 si 个

• 混合背包问题：每个物品会有上⾯三种情况......

•分组背包问题：物品有 n 组，每组物品⾥有若⼲个，每组⾥最多选⼀个物品

其中上述分类⾥⾯，根据背包是否装满，⼜分为两类：

• 不⼀定装满背包

• 背包⼀定装满

优化⽅案：

• 空间优化 - 滚动数组（重点掌握）

• 单调队列优化

• 贪⼼优化

根据限定条件的个数，⼜分为两类：

• 限定条件只有⼀个：⽐如体积 -> 普通的背包问题

• 限定条件有两个：⽐如体积 + 重量 -> ⼆维费⽤背包问题

根据不同的问法，⼜分为很多类：

• 输出⽅案

• 求⽅案总数

• 最优⽅案

• ⽅案可⾏性

其实还有很多分类，但是我们仅需了解即可。

因此，背包问题种类⾮常繁多，题型⾮常丰富，难度也是⾮常难以捉摸。但是，尽管种类⾮常多，都是从 01 背包问题演化过来的。所以，⼀定要把 01 背包问题学好。

No.1 01背包【模板】

【模板】01背包_牛客题霸_牛客网

第一问：

第二问：

初始化

#include <iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int N =1010;int n,V,v[N],w[N],dp[N][N];
int main() {cin>>n>>V;for(int i=1;i<=n;++i)cin>>v[i]>>w[i];//第一问for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=V;++j){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],w[i]+dp[i-1][j-v[i]]);}}cout<<dp[n][V]<<endl;//清空输出->初始化memset(dp,0,sizeof dp);for(int j=1;j<=V;++j)dp[0][j]=-1;//第二问for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=V;++j){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i]&&dp[i-1][j-v[i]]!=-1)dp[i][j]=max(dp[i][j],w[i]+dp[i-1][j-v[i]]);}}cout<<(dp[n][V]==-1?0:dp[n][V])<<endl;return 0;
}

滚动数组空间优化：

#include <iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int N =1010;int n,V,v[N],w[N],dp[N];
int main() {cin>>n>>V;for(int i=1;i<=n;++i)cin>>v[i]>>w[i];//第一问for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=V;j>=v[i];--j)   //修改遍历顺序{dp[j]=max(dp[j],w[i]+dp[j-v[i]]);}}cout<<dp[V]<<endl;//清空输出->初始化memset(dp,0,sizeof dp);for(int j=1;j<=V;++j)dp[j]=-1;//第二问for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=V;j>=v[i];--j)   //修改遍历顺序{if(dp[j-v[i]]!=-1)dp[j]=max(dp[j],w[i]+dp[j-v[i]]);}}cout<<(dp[V]==-1?0:dp[V])<<endl;return 0;
}

No.2 分割等和子集

416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）

转化成，在数组中选择一些数出来，让这些数的和等于sum/2。

相当于01背包只有体积一个限定条件

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int n=nums.size(),sum=0;for(auto&x:nums)sum+=x;if(sum%2)return false;int aim=sum/2;vector<vector<bool>> dp(n+1,vector<bool>(aim+1));//第一列表示sum=0，全为truefor(int i=1;i<=n;++i)dp[i][0]=true;for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=aim;++j){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=nums[i-1])dp[i][j]=dp[i][j]||dp[i-1][j-nums[i-1]];}}return dp[n][aim];}
};

滚动数组空间优化：

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int n=nums.size(),sum=0;for(auto&x:nums)sum+=x;if(sum%2)return false;int aim=sum/2;vector<bool> dp(aim+1);dp[0]=true;for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=aim;j>=nums[i-1];--j){dp[j]=dp[j]||dp[j-nums[i-1]];}}return dp[aim];}
};

No.3 目标和

494. 目标和 - 力扣（LeetCode）

那么就变得和上一题一样了

初始化

class Solution {
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {int sum=0;for(auto&x:nums)sum+=x;int aim=(sum+target)/2;if(aim<0||(sum+target)%2)return 0;int n=nums.size();vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(aim+1));dp[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;++i){//第一列的初始化在填表过程中完成for(int j=0;j<=aim;++j){dp[i][j]=dp[i-1][j];//注意下标映射！！！！if(j>=nums[i-1])dp[i][j]+=dp[i-1][j-nums[i-1]];}}return dp[n][aim];}
};

滚动数组空间优化：

class Solution {
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {int sum=0;for(auto&x:nums)sum+=x;int aim=(sum+target)/2;if(aim<0||(sum+target)%2)return 0;int n=nums.size();vector<int> dp(aim+1);dp[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i){//第一列的初始化在填表过程中完成for(int j=aim;j>=nums[i-1];--j){//注意下标映射！！！！dp[j]+=dp[j-nums[i-1]];}}return dp[aim];}
};

No.4 最后一块石头的重量II

1049. 最后一块石头的重量 II - 力扣（LeetCode）

思考一下可以转换成目标和问题

数组空，j值为0的时候都是零

class Solution {
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {int sum=0;for(auto&x:stones)sum+=x;int aim=sum/2,n=stones.size();vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(aim+1));for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=aim;++j){dp[i][j]=dp[i-1][j];//注意下标映射！！！if(j>=stones[i-1])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-stones[i-1]]+stones[i-1]);}}return sum-dp[n][aim]*2;}
};

滚动数组空间优化：

class Solution {
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {int sum=0;for(auto&x:stones)sum+=x;int aim=sum/2,n=stones.size();vector<int> dp(aim+1);for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=aim;j>=stones[i-1];--j){//注意下标映射！！！dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i-1]]+stones[i-1]);}}return sum-dp[aim]*2;}
};

No.5 将一个数字表示成幂的和的方案数

2787. 将一个数字表示成幂的和的方案数 - 力扣（LeetCode）

由于数据可能非常大，应该采用范围更大的类型存储数据，但double float都不允许取模操作，所以我们创建long long.

class Solution {const int N=1e9+7;
public:int numberOfWays(int n, int x) {//dp[i][j]表示从0~i选择数的x次方，恰好等于j的，方案总数vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(n+1));//i是0，j全部无效；j是0，都只有一种方法（i=0）for(int i=0;i<=n;++i)dp[i][0]=1;for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j){dp[i][j]=dp[i-1][j];long long p=pow(i,x);if(j>=p)dp[i][j]+=dp[i-1][j-p];dp[i][j]%=N;}}return dp[n][n];}
};

滚动数组空间优化：

class Solution {const int N=1e9+7;
public:int numberOfWays(int n, int x) {//dp[i][j]表示从0~i选择数的x次方，恰好等于j的，方案总数vector<long long> dp(n+1);//i是0，j全部无效；j是0，都只有一种方法（i=0）dp[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i){long long p=pow(i,x);for(int j=n;j>=p;--j){dp[j]+=dp[j-p];dp[j]%=N;}}return dp[n];}
};