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《量子计算》学习笔记：量子计算的基本定义(续)

news 2025/10/6 6:31:03

量子计算核心原理学习笔记（续）

继上一节课建立了量子态、量子演化和复合系统的基本概念后，将深入探讨量子计算中至关重要的量子测量

假设四：量子测量 (Quantum Measurement)

量子测量是从量子态中提取经典信息的唯一途径，是连接量子世界与经典世界的桥梁。其原理基于一套严格的数学假设。一次测量是针对一个特定的标准正交基 (Orthonormal Basis) ${∣vi⟩}\{|v_i\rangle\}$ 来进行的，这组基向量张成了整个状态空间。对于一个待测量的量子态 $∣ψ⟩|\psi\rangle$ ，首先需要将其在该测量基下进行展开： $∣ψ⟩=∑iai∣vi⟩|\psi\rangle = \sum_i a_i |v_i\rangle$ 。

测量的结果是概率性的。具体来说，测量到结果 $i$ 的概率为 $P(i) = |a_i|^2$ 。所有可能结果的概率之和为1，这由量子态的归一化性质保证。测量的另一个关键特征是状态坍缩：一旦测量得到结果 $i$ ，量子系统将不可逆地坍缩到对应的基向量状态 $∣vi⟩|v_i\rangle$ 上。此外，量子态的全局相位（即一个整体的复数因子 $eiαe^{i\alpha}$ ）在物理上是不可测量的，因为它在计算概率时会被模平方抵消，不影响任何测量结果。

多寄存器系统坍缩

当一个量子系统由多个子系统（或称为寄存器，如多个量子比特）构成时，我们可以只对其中一部分进行测量。这种局部测量同样会影响整个系统的状态。

考虑一个双量子比特系统，其状态为 $∣ψ⟩=110∣00⟩+210∣01⟩+310∣10⟩+410∣11⟩|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{10}}|00\rangle + \sqrt{\frac{2}{10}}|01\rangle + \sqrt{\frac{3}{10}}|10\rangle + \sqrt{\frac{4}{10}}|11\rangle$ 。若我们只在计算基 ${∣0⟩,∣1⟩}\{|0\rangle, |1\rangle\}$ 下测量第一个量子比特，首先需要按第一个比特的状态对总状态进行重写：
$∣ψ⟩=∣0⟩⊗(110∣0⟩+210∣1⟩)+∣1⟩⊗(310∣0⟩+410∣1⟩)|\psi\rangle = |0\rangle \otimes \left(\sqrt{\frac{1}{10}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{10}}|1\rangle\right) + |1\rangle \otimes \left(\sqrt{\frac{3}{10}}|0\rangle + \sqrt{\frac{4}{10}}|1\rangle\right) \text{}$
测量第一个比特得到 0 的概率，等于其系数向量（即与 $∣0⟩|0\rangle$ 发生张量积的部分）的范数平方。计算可得， $\|\sqrt{\frac{1}{10}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{10}}|1\rangle\|^2 = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$ 。同理，测得 1 的概率为 $\frac{7}{10}$ 。

如果测量结果为 0，整个系统将坍缩，第一个比特确定为 $∣0⟩|0\rangle$ ，而第二个比特的状态则坍缩为对应系数向量归一化后的新状态：
$∣ψsub′⟩=110∣0⟩+210∣1⟩3/10=13∣0⟩+23∣1⟩|\psi'_{sub}\rangle = \frac{\sqrt{\frac{1}{10}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{10}}|1\rangle}{\sqrt{3/10}} = \frac{1}{\sqrt{3}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|1\rangle \text{}$

超密编码与量子隐形传态协议

量子测量与量子纠缠的结合，催生了两种著名的量子信息协议。超密编码利用量子信道高效传输经典信息，而量子隐形传态则利用经典信道和纠缠来“传输”一个未知的量子态。这两种协议的核心都依赖于对贝尔基的测量。

贝尔基 (Bell Basis) 是由四个两量子比特的最大纠缠态构成的标准正交基，它们是进行双比特联合测量的基础。这四个贝尔态分别是：

$∣β00⟩=12(∣00⟩+∣11⟩)|\beta_{00}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$
$∣β01⟩=12(∣10⟩+∣01⟩)|\beta_{01}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|10\rangle + |01\rangle)$
$∣β10⟩=12(∣00⟩−∣11⟩)|\beta_{10}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |11\rangle)$
$∣β11⟩=12(∣01⟩−∣10⟩)|\beta_{11}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)$

由于这四个态是两两正交的，因此可以作为一组测量基。在协议中，执行一次贝尔基测量，系统会以特定概率坍缩到这四个状态之一，从而获得两位经典信息（00, 01, 10, 或 11）。
在这里插入图片描述

量子态编码传输及单量子比特门操作

超密编码 (Superdense Coding) 协议详细展示了如何通过单量子比特门操作来编码并传输信息。

初始资源：Alice和Bob预先共享一个处于 $∣β00⟩|\beta_{00}\rangle$ 态的纠缠对，Alice持有第一个Qubit，Bob持有第二个。
编码：Alice希望发送两位经典信息 zx。她对自己持有的Qubit施加一个相应的单比特Pauli门操作，从而将整个系统的状态转换为对应的贝尔态。
- 发送00：施加 $I$ 门，系统态仍为 $∣β00⟩|\beta_{00}\rangle$ 。
- 发送01：施加 $X$ 门，系统态变为 $∣β01⟩|\beta_{01}\rangle$ 。
- 发送10：施加 $Z$ 门，系统态变为 $∣β10⟩|\beta_{10}\rangle$ 。
- 发送11：施加 $ZX$ 门，系统态变为 $∣β11⟩|\beta_{11}\rangle$ 。
传输：Alice将她操作过的单个Qubit发送给Bob。
解码：Bob收到Qubit后，对他拥有的两个Qubit执行一次贝尔基测量。测量结果将唯一确定系统的状态是四个贝尔态中的哪一个，从而解码出Alice发送的两位经典比特 zx。

该协议的核心是利用一个纠缠比特和一个量子比特的传输，完成了两个经典比特的信息传递，因此被称为“超密”。

结合经典通信与量子操作实现信息精准传递

量子隐形传态 (Quantum Teleportation) 是另一个经典协议，它展示了如何利用纠缠和经典通信来“传输”一个未知的量子态。

目标与资源：Alice有一个未知量子态 $∣ψ⟩=a∣0⟩+b∣1⟩|\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle$ 希望传给Bob。她和Bob同样预共享一个 $∣β00⟩|\beta_{00}\rangle$ 纠缠对，并且可以使用一个双向的经典信道。
Alice的操作：Alice对她手中的两个Qubit（未知态 $∣ψ⟩|\psi\rangle$ 和纠缠对的一半）进行一次贝尔基测量。系统的总状态可以被重新展开为以Alice的贝尔基为基础的叠加形式。Alice的测量将使系统坍缩，并获得一个两位经典结果（00, 01, 10, 或 11）。与此同时，Bob的Qubit也相应地坍缩到了一个与原始态 $∣ψ⟩|\psi\rangle$ 相关的特定状态。
经典通信：Alice通过经典信道将她的两位测量结果发送给Bob。
Bob的重构：Bob根据收到的经典信息，对自己手中的Qubit施加一个对应的幺正操作（ $I, X, Z,$ 或 $ZX$ ）来修正其状态，从而精确地恢复出原始的未知量子态 $∣ψ⟩|\psi\rangle$ 。

这个过程实现了量子态的传输，而没有物理地移动粒子本身，并且整个过程中 $∣ψ⟩|\psi\rangle$ 的具体信息（系数a, b）对于Alice和Bob来说都是未知的。

量子线路与受控门

为了形式化地描述这些协议和算法，引入量子线路 (Quantum Circuit) 的概念。

基本元素：量子线路从左到右读取。水平的实线代表一个量子比特，而双实线则代表一个经典比特。线路上的方框代表作用在该比特上的量子门或操作。线路末端的“仪表盘”符号代表在该基下的测量。
受控门 (Controlled Gates)：这是多比特操作的核心，其中一个或多个Qubit作为控制位，决定是否在目标位上施加一个操作。
- CNOT (受控非门)：用一个实心圆点表示控制位，一个 $⊕\oplus$ 符号表示目标位。当且仅当控制位为 $∣1⟩|1\rangle$ 时，目标位执行 $X$ 操作（翻转）。
- Controlled-U：用实心圆点连接到目标位上的 $U$ 门方框，表示当控制位为 $∣1⟩|1\rangle$ 时，在目标位上执行 $U$ 操作。
- 在 $∣0⟩|0\rangle$ 上受控：如果控制条件是控制位为 $∣0⟩|0\rangle$ ，则在线路上用一个空心圆点表示。