sosdp

子集 dp

sosdp，高维前缀和。

传统的，计算二维前缀和的递推式为：
$$s_{i,j}\leftarrow s_{i-1,j}+s_{i,j-1}-s_{i-1,j-1}$$

这可以等价于，每一维上，这个点加上该维上一个点的和。我们不妨把它拓展到 $n$ 维，用二进制位表示高维。

1.高维前缀和

给定一个含 $2^n$ 个整数的集合 $A$，我们需要计算：$\forall T\subseteq A$，$T$ 中所有元素 $A_i$ 之和，$i$ 为元素对应下标，写为：
$$F_{mask}=\sum _{i\in mask}{A}_i$$

for(int i=0;i<(1<<N);i++)
f[i]=A[i];
for(int i=0;i<N;i++)
for(int mask=0;mask<(1<<N);mask++)
if(mask&(1<<i))f[mask]+=f[mask^(1<<i)];

光这么看肯定很难看出算法的精髓所在。应当搭配例题食用。

我的题单。

2.AT_arc100_c Or Plus Max

题意

有一个长度为 $2^N$ 的整数序列 $A_0,A_1,...,A_{2^N-1}$。（注意下标从 $0$ 开始）

对于所有满足 $1\le K\le 2^N-1$ 的整数 $K$，请解决以下问题：

• 设 $i,j$ 为整数，满足 $0\le i<j\le 2^N-1$，且 $(i\text{or}j)\le K$，求 $A_i+A_j$ 的最大值。这里 $or$ 表示按位或运算。

$1\le N\le 18$，$1\le A_i\le 10^9$。

思路

首先 $i\ne j$，我们发现 $mask=i\text{or}j$ 的含义是，$i,j$ 分别是 $mask$ 的两个不同子集。

那么可以贪心地，对于每个 $mask$，求出其子集下标中的最大值 $f_{mask}$ 以及次大值 $g_{mask}$。求法就是上面的求和改成维护最大值和次大值。

那么答案就是：
$$\underset{mask\le K}{\max }{f}_{mask}+g_{mask}$$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
const ll N=23,S=1<<N;
ll n;
ll a[S];
ll f[S],g[S];//集合i子集最大和和次大和 
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=0;i<(1<<n);i++){scanf("%lld",&a[i]);f[i]=a[i];}for(int i=0;i<n;i++){for(int mask=0;mask<(1<<n);mask++){if(mask&(1<<i)){if(f[mask^(1<<i)]>f[mask]){g[mask]=f[mask];f[mask]=f[mask^(1<<i)];}else if(f[mask^(1<<i)]>g[mask])g[mask]=f[mask^((1<<i))];}}}ll ans=0;for(int i=1;i<(1<<n);i++)//ansk=max(1~k){ans=max(ans,f[i]+g[i]);printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

3.CF165E Compatible Numbers

题意

如果两个整数 $x$ 和 $y$ 的按位与运算结果为 $0$，即 $x\&y=0$，那么它们是兼容的。例如，$90(1011010_2)$ 和 $36(100100_2)$ 是兼容的，因为 $1011010_2\&100100_2=0_2$，而 $3(11_2)$ 和 $6(110_2)$ 则不兼容，因为 $11_2\&110_2=10_2$。

给定一个整数数组 $a_1,a_2,\dots ,a_n$。你需要判断，对于每个数组元素，是否存在数组中的其它元素跟它兼容？如果存在兼容元素，还需要输出一个满足条件的元素。

$1\le n\le 10^6$，$1\le a_i\le 4\times 10^6$。

思路

对于一个数 $a_i$，对其二进制逐位取反得到 $fla{p}_i$，即找 $fla{p}_i$ 子集中对应下标的最大值。维护 $f_{mask}$ 表示 $mask$ 子集内的下标最大值即可，答案就是 $f_{fla{p}_i}$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
const ll N=1e6+9,M=22,S=5e6+9,inf=0x3f3f3f3f;
ll n;
ll a[N];
ll f[S];
ll flap(ll x)
{return (~x)&((1<<M)-1);
}
int main()
{scanf("%lld",&n);memset(f,-1,sizeof(f));for(int i=0;i<n;i++){scanf("%lld",&a[i]);f[a[i]]=i;}for(int i=0;i<M;i++){for(int mask=0;mask<(1<<M);mask++){if(mask&(1<<i))f[mask]=max(f[mask],f[mask^(1<<i)]);}}for(int i=0;i<n;i++){ll ret=f[flap(a[i])];if(ret==-1)printf("-1 ");else printf("%lld ",a[ret]);}return 0;
}