近世代数（抽象代数）详细笔记--群

近世代数研究的对象就是具有代数运算的集合，这样的集合称为“代数系”

代数系的更确切定义是指一个非空集合 A，连同定义在 A 上的若干个满足特定规则（如封闭性、结合律等）的代数运算，所构成的整体。

第一章：群

1.1等价关系和集合的分类

定义–关系

设$S$是一个非空集合，$\mathcal{R}$是关于$S$的元素的一个条件. 如果对$S$中任意一个有序元素对$(a,b)$，我们总能确定$a$与$b$是否满足条件$\mathcal{R}$，就称$\mathcal{R}$是$S$的一个关系(relation). 如果$a$与$b$满足条件$\mathcal{R}$，则称$a$与$b$有关系$\mathcal{R}$，记作$a\mathcal{R}b$；否则称$a$与$b$无关系$\mathcal{R}$. 关系$\mathcal{R}$也称为二元关系.

eg. 在整数集$\mathbb{Z}$中，整除是关系。（$\forall a,b\in \mathbb{Z}$,要么$a\mid b$，要么$a\nmid b$）

理解：关系是集合中元素相互联系的方式，可以用有序对表示，关系可以有很多种性质，如自反性，对称性，传递性等。

关系的本质是有序对的集合：如果有一个集合$S$，那么一个关系$\mathcal{R}$可以看作是$S\times S$（即$S$与自身的笛卡尔积）的一个子集。也就是说，$\mathcal{R}\subseteq S\times S$，其中每个有序对$(a,b)$表示$a$和$b$满足关系$\mathcal{R}$（即$a\mathcal{R}b$）。

定义–等价关系
同时具有自反性，对称性，传递性的关系叫做等价关系

设 $\mathcal{R}$ 是非空集合 $S$ 的一个关系，如果 $\mathcal{R}$ 满足

• 自反性，即对任意的 $a\in S$，有 $a\mathcal{R}a;$
• 对称性，即若 $a\mathcal{R}b$，则 $b\mathcal{R}a$;
• 传递性，即若 $a\mathcal{R}b$，且 $b\mathcal{R}c$，则 $a\mathcal{R}c$

则称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个等价关系 (equivalence relation)，并且如果 $a\mathcal{R}b$，则称 $a$ 等价于 $b$，记作 $a\sim b$

目的：研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取没类元素的 代表元素来件地问题的复杂度。如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

eg:同余关系是等价关系

设$m$是正整数，在整数集$\mathbb{Z}$中，规定
$$a\mathcal{R}b⟺m\mid a-b,\forall a,b\in \mathbb{Z},$$
(1) 对任意整数$a$，有$m\mid a-a$；
(2) 若$m\mid a-b$，则$m\mid b-a$；
(3) 若$m\mid a-b$，$m\mid b-c$，则$m\mid a-c$，
所以$\mathcal{R}$是$\mathbb{Z}$的一个等价关系。显然$a$与$b$等价当且仅当$a$与$b$被$m$除有相同的余数，因此称这个关系为同余关系(congruence relation)，并记作$a\equiv b(\text{mod}m)$。

定义–划分

如果非空集合$S$是它的某些两两不相交的非空子集的并，则称这些子集为集合$S$的一种划分(partition)，其中每个子集称为$S$一个类(class)。如果$S$的子集族{Si∣i∈I}\{S_i \mid i \in I\}{Si​∣i∈I}构成$S$的一种划分，则记作P={Si∣i∈I}\mathcal{P} = \{S_i \mid i \in I\}P={Si​∣i∈I}。

由此定义可知，集合$S$的子集族{Si∣i∈I}\{S_i \mid i \in I\}{Si​∣i∈I}构成$S$的一种划分当且仅当

• $S={\bigcup }_{i\in I}{S}_i$;
• $S_i\cap S_j=\varnothing ,i\ne j$.

理解：用刀切蛋糕，蛋糕的每一块彼此独立（无公共元素），所有块蛋糕合起来又是完整的蛋糕

注：等价关系和划分是一一对应的（一个等价关系预示着一个划分方式，一个划分方式包含着一个等价关系）

定义–等价类,商集

如果$\sim$是集合$S$的一个等价关系，对$a\in S$，令
[a]={x∈S∣x∼a}.[a] = \{x \in S \mid x \sim a\}.[a]={x∈S∣x∼a}.
称子集$[a]$为$S$的一个等价类(equivalence class)。$S$的全体等价类的集合称为集合$S$在等价关系下的商集(quotient set)，记$S/\sim$。

理解：商集本身是集合其里面的元素也是集合

模6的等价类

等价关系把集合划分为了等价类

如果集合$S$具有代数结构（如群、环、向量空间），并且等价关系$\sim$与该结构兼容（即运算在等价类上良定义），则商集$S/\sim$可以继承相同的结构

1.2群的概念

定义–代数运算

设$A$是一个非空集合，若对$A$中任意两个元素$a,b$，通过某个法则“$\cdot$”，有$A$中唯一确定的元素$c$与之对应，则称法则“$\cdot$”为集合$A$上的一个代数运算(algebraic operation)。元素$c$是$a,b$通过运算“$\cdot$”作用的结果，将此结果记为$a\cdot b=c$。

性质：代数运算一定满足封闭性

定义–群

设$G$是一个非空集合，“$\cdot$”是$G$上的一个代数运算，即对所有的$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。如果$G$的运算还满足

• 结合律，即对所有的$a,b,c\in G$，有$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$；

• $G$中有元素$e$（单位元），使对每个$a\in G$，有$e\cdot a=a\cdot e=a$；

• 对$G$中每个元素$a$，存在元素$b\in G$，使$a\cdot b=b\cdot a=e$，
  则称$G$关于运算“$\cdot$”构成一个群(group)，记作$(G,\cdot )$。也称$G$为群。

性质：

1. 群$G$的单位元是唯一的
2. 群$G$的每个元素的逆元是唯一的
3. 对$\forall a\in G$,有$(a^{-1}{)}^{-1}=a$
4. 对$\forall a,b\in G$，有$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$
5. 在群中消去律成立，即：设$a,b,c\in G$,若$ab=ac$或$ba=ca$,则$b=c$
6. 无零元
7. 除e之外没有幂等元素
8. $ax=b$，$ya=b$在群中有唯一解

常见的非交换群：

n 阶一般线性群 GL(n, ℝ)：所有 n×n 的可逆实矩阵在矩阵乘法下构成的群。

对称群$S_n$:当$n\ge 3$时为非交换群，$n=1,2$时是交换群

定义–交换群

群$G$的运算满足交换律，即对任意的$a,b\in G$，有$a\cdot b=b\cdot a$，则称$G$是一个交换群(commutative group) 或阿贝尔群(Abelian group)。

常见的交换群：

1.循环群：所有的循环群都是交换群

2.数系加法群

• 整数加法群$(\mathbb{Z},+)$：所有整数在加法运算下构成群。单位元是$0$，任意整数$n$的逆元是$-n$。
• 有理数加法群$(\mathbb{Q},+)$：所有有理数在加法下构成群。
• 实数加法群$(\mathbb{R},+)$：所有实数在加法下构成群。
• 复数加法群$(\mathbb{C},+)$：所有复数在加法下构成群。

3.数系加群对应的模$n$的剩余类加群

4.数系乘法群（非零元素）

注意：这些数系在乘法下不能构成群，因为 $0$ 没有乘法逆元。但如果我们只考虑非零元素，它们就构成交换群。

• 非零有理数乘法群 $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$：单位元是$1$，有理数 $a/b$ 的逆元是 $b/a$。

• 非零实数乘法群 $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$

• 非零复数乘法群 $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$

5.模 $p$（素数）的非零剩余类乘法群 $({\mathbb{Z}}_p^{\ast },\cdot )$：这是一个非常重要的有限交换群。例如，$({\mathbb{Z}}_5^{\ast },\cdot )$ 的集合是 {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}{1,2,3,4}，因为 $0$ 被排除。$2\cdot 3=6\equiv 1(\text{mod}5)$，所以 $2$ 和 $3$ 互为逆元。

定义–群的阶

群$G$中元素的个数称为群$G$的阶(order)，记为$|G|$。如果$|G|$是有限数，则称$G$为有限群(finite group)，否则称$G$为无限群(infinite group)。

定义–群元素的方幂and倍数

乘法群中可以定义群的元素的方幂：

对任意的正整数 ( n )，定义
$a^n=\underset{n个a}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}}$,

再约定
$a^0=e$,
$a^{-n}=(a^{-1}{)}^n(n\text{ 为正整数})$,

则 $a^n$对任意整数 $n$ 都有意义，并且对任意的$a\in G,m,n\in \mathbb{Z}$，有以下指数法则：

1. $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$;
2. $(a^n{)}^m=a^{nm}$;
3. 若 ( G ) 是交换群，则 $(ab{)}^n=a^n{b}^n$；若 ( G ) 不是交换群，则 $(ab{)}^n=a^n{b}^n$ 一般不成立。

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加群中定义元素的倍数

当 ( G ) 是加群时，元素的“方幂”改写为倍数：

$na=\underset{n个a}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}$,

同时约定
$0a=0$,
$(-n)a=n(-a)$,

相应地，指数法则变为倍数法则：

1. $na+ma=(n+m)a$;
2. $m(na)=(mn)a$;
3. $n(a+b)=na+nb$（因为加群是交换群，所以该式总是成立的）。

定理：群的判定1

G是一个具有代数运算的非空集合，则G为群$\iff$

1. G的运算满足结合律
2. 左单位元：$\forall a\in G,$有$ea=a$
3. 左逆元：$\forall a\in G$,$\exist a’\in G $ s.t.$a^{\prime }a=e$(e为左单位元)

定理：群的判定2

设$G$是一个具有乘法运算且满足结合律的非空集合，则$G$是群$\iff$

对$\forall a,b\in G$,方程$aX=b$与$Ya=b$在$G$中有解

1.3子群

定义–子群

设$G$是一个群，$H$是$G$的一个非空子集。如果$H$关于$G$的运算也构成群，则称$H$为$G$的一个子群(subgroup)，记作$H<G$。
PS： 对任意群$G$，$G$本身以及只含单位元$e$的子集H={e}H = \{e\}H={e} 是$G$的子群，这两个子群称为$G$的平凡子群(trivial subgroup)。群$G$的其他子群称为$G$的非平凡子群(nontrivial subgroup)；群$G$的不等于它自身的子群称为$G$的真子群(proper subgroup)。

定理–1.3.1群与子群元素关系

设$G$为群，$H$是$G$的子群，则

(1) 群$G$的单位元$e$是$H$的单位元；

(2) 对任意的$a\in H$，$a$在$G$中的逆元$a^{-1}$就是$a$在$H$中的逆元。

定理–1.3.2子群的判定1

设$G$为群，$H$是群$G$的非空子集，则$H$成为群$G$的子群的充分必要条件是
(1) 对任意$a,b\in H$，有$ab\in H$；
(2) 对任意$a\in H$，有$a^{-1}\in H$。

定理–1.3.3子群的判定2

设$G$为群，$H$是群$G$的非空子集，则$H$成为$G$的子群的充分必要条件是对任意的$a,b\in H$，有$a{b}^{-1}\in H$。

定理–1.3.4子群的运算性质

群$G$的任意两个子群的交集还是$G$的子群。

注：G的$\forall $子群的并不一定是$G$的子群

定义–生成子群

设$S$是群$G$的一个非空子集，令$M$表示$G$中所有包含$S$的子群所组成的集合，即 M={H<G∣S⊆H}.M = \{ H < G \mid S \subseteq H \}.M={H<G∣S⊆H}. $G$本身显然包含$S$，所以$G\in M$，从而$M$非空。令 $$K=\bigcap _{H\in M}H,$$ 则$K$是$G$的子群，称$K$为群$G$的由子集$S$所生成的子群（简称生成子群），记作$⟨S⟩$，即 $$⟨S⟩=\bigcap _{S\subseteq H<G}H,$$ 子集$S$称为$⟨S⟩$的生成元组。 若S={a1,a2,⋯,ar}S = \{ a_1, a_2, \cdots, a_r \}S={a1​,a2​,⋯,ar​}为有限集，则记 $$⟨S⟩=⟨a_1,a_2,\cdots ,a_r⟩.$$

**理解：**群中某些元素所生成的最小子群

定理–1.3.5

设$S$是$G$的非空子集，则

• $⟨S⟩$是$G$的包含$S$的最小子群；

• ⟨S⟩={a1l1a2l2⋯aklk∣ai∈S,li=±1,k∈N}\langle S \rangle = \{ a_1^{l_1} a_2^{l_2} \cdots a_k^{l_k} \mid a_i \in S, l_i = \pm 1, k \in \mathbb{N} \}⟨S⟩={a1l1​​a2l2​​⋯aklk​​∣ai​∈S,li​=±1,k∈N}

PS：当$S$只包含群$G$的一个元素$a$时，由于 $$a^{l_1}{a}^{l_2}\cdots a^{l_k}=a^{{\sum }_{i=1}^k{l}_i},$$ 所以 ⟨a⟩={ar∣r∈Z}.\langle a \rangle = \{ a^r \mid r \in \mathbb{Z} \}.⟨a⟩={ar∣r∈Z}. 这种由一个元素$a$生成的子群称为由$a$生成的循环群(cyclic group)。

**理解：**群中某个元素所生成的最小子群

1.4群的同构

韩老师的引言很不错：

定义–映射类型

• 映射（function）:每一个$x$都有唯一的$y$与之对应；

• 单射（injection）：不同的x必须映射到不同的y(但是每一个x都得能够映射到Y中)
• 满射（surjection）：每一个$y$都必有至少一个$x$与之对应；
• 双射（bijection）：每一个$x$都有唯一的$y$与之对应，每一个$y$都有唯一的$x$与之对应。

理解：

• 单射就是一个萝卜一个坑，有的坑有可能没萝卜；
• 满射就是所有坑都有萝卜，有的坑可能有不止一个萝卜；
• 双射就是严格的一个萝卜一个坑，一个坑一个萝卜，所有萝卜都有坑，所有坑都有萝卜。

定义–同构与自同构

设$(G,.)$与$(G^{\prime },\ast )$是两个群，$\varphi$是$G$到$G^{\prime }$的一一对应，使

$$\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\ast \varphi (b),\forall a,b\in G,$$

则称$\varphi$为群$G$到$G^{\prime }$的一个同构映射(isomorphism)，简称同构，并称群$G$与$G^{\prime }$同构(isomorphic)，记作

$$\varphi :G\cong G^{\prime }.$$

群$G$到它自身的同构映射称为群$G$的自同构(automorphism)。

自同构的密码学运用举例 对称加密的核心是 “加密和解密使用同一密钥”，而自同构的 “可逆性” 和 “结构保持性” 恰好匹配这一需求： - 加密过程可视为 “自同构映射”：将明文（某一数学结构中的元素）通过密钥控制的自同构映射为密文（保持结构的 “不可读性”，但可逆）； - 解密过程即 “自同构的逆映射”：用同一密钥还原密文为明文。 - **例：AES 加密算法**：AES 的核心变换 “字节代换（SubBytes）” 本质是有限域$GF(2^8)$ 上的自同构（保持有限域的加法和乘法运算），“行移位（ShiftRows）”“列混合（MixColumns）” 则是线性空间的自同构 —— 这些自同构的组合确保了加密的 “雪崩效应”（明文或密钥微小变化导致密文大幅变化），保障了加密安全性。

证明：群同构的步骤：

要证明两个群 $G$ 和 $G^{\prime }$ 同构，通常需要构造一个双射 $\varphi :G\to G^{\prime }$，并且证明 $\varphi$ 保持群运算。具体步骤如下：

第一步 构作群 $G$ 与群 $G^{\prime }$ 的元素间的对应关系 $\varphi$，并证明 $\varphi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime }$ 的映射；

第二步 证明 $\varphi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime }$ 的单映射。即对任意的 $x,y\in G$，证明由 $\varphi (x)=\varphi (y)$ 可推出 $x=y$；

第三步 证明 $\varphi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime }$ 的满映射。即对任意的 $x^{\prime }\in G^{\prime }$，证明存在 $x\in G$，使 $\varphi (x)=x^{\prime }$；

第四步 证明 $\varphi$ 保持运算。即对任意的 $x,y\in G$，证明 $\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)$。

定理1.4.1群同构的性质

设$\varphi$是群$G$到$G^{\prime }$的同构映射，$e$与$e^{\prime }$分别是$G$与$G^{\prime }$的单位元，$a$是$G$的任一元素，则

(1) $\varphi (e)=e^{\prime }$；

(2) $\varphi (a^{-1})=(\varphi (a){)}^{-1}$；

(3) $\varphi$是可逆映射，且$\varphi$的逆映射${\varphi }^{-1}$是群$G^{\prime }$到群$G$的同构映射。

理解：群同构把单位元映射为单位元，逆元映射为逆元

PS：设群$G$与$G^{\prime }$同构。如果$G$是交换群，则$G^{\prime }$也是交换群；如果$G$是有限群，则$G^{\prime }$也是有限群，且$|G|=|G^{\prime }|$。

定理：1.4.2群同构是等价关系

群的同构是一个等价关系，即

(1) $G\cong G$（反身性）；

(2) 若$G\cong G^{\prime }$，则$G^{\prime }\cong G$（对称性）；

(3) 若$G\cong G^{\prime }$，$G^{\prime }\cong G^{\prime \prime }$，则$G\cong G^{\prime \prime }$（传递性）， 其中$G,G^{\prime },G^{\prime \prime }$都是群。

理解：同构的群具有完全相同的群性质

定义：对称群和变换群

对于非空集合$X$，全体可逆变换（即$X$到自身的双射变换）关于“变换的合成”（即依次进行两个变换的运算）所构成的群，称为集合$X$的对称群（记为$S_X$）；而$S_X $的任意一个子群，就称为$X$的一个变换群。

定理：凯莱定理

每一个群都同构于一个变换群

1.5循环群

定义：元素的阶

设$G$是一个群，$e$是$G$的单位元，$a\in G$。如果存在正整数$r$，使$a^r=e$，则称$a$是有限阶的，否则称$a$是无限阶的。使$a^r=e$的最小正整数$r$称为元素$a$的阶(order)，记作$\text{ord}a=r$。如果$a$是无限阶的，则记作$\text{ord}a=\infty$。

定理：关于元素阶的性质

设$G$为群，$e$为$G$的单位元。
(1) 对任意的$a\in G$，有$\text{ord}a=\text{ord}{a}^{-1}$；
(2) 设$\text{ord}a=n$，如果有$m\in \mathbb{Z}$，使$a^m=e$，则$n\mid m$；
(3) 设$\text{ord}a=n$，则对任意的$m\in \mathbb{Z}$，$\text{ord}{a}^m=\frac{n}{(n,m)}$；
(4) 设$\text{ord}a=n$，$\text{ord}b=m$，如果$ab=ba$，且$\gcd (n,m)=1$，则$\text{ord}(ab)=mn$。

定理：元素的阶与群的阶之间的关系

设$G$是一个有限群，$|G|=n$，则对任意的$a\in G$，$a$是有限阶的，且$\text{ord}a\mid |G|$，即一个有限群的任一个元素的阶都是群阶数的因子。

定义：循环群

设$G$是群，如果存在$a\in G$，使得$G=⟨a⟩$，则称$G$为一个循环群(cyclic group)，并称$a$为$G$的一个生成元(generator)。当$G$的元素个数无限时，称$G$为无限循环群；当$G$的元素个数为$n$时，称$G$为**$n$阶循环群**。

性质：循环群的性质

(1) $(a^{-1})=⟨a⟩$；

(2) 如果$G$是有限群，则$G=⟨a⟩⟺|G|=\text{ord}a$；

(3) 如果$G$为无限循环群，则 G={e,a,a−1,a2,a−2,a3,a−3,…}G = \{e, a, a^{-1}, a^2, a^{-2}, a^3, a^{-3}, \dots\}G={e,a,a−1,a2,a−2,a3,a−3,…}， 且对任意的$k,l\in \mathbb{Z}$，由$a^k=a^l$，必可推出$k=l$；

(4) 如果$G$为$n$阶循环群，则 G={e,a,a2,a3,…,an−1}G = \{e, a, a^2, a^3, \dots, a^{n-1}\}G={e,a,a2,a3,…,an−1}， 且对任意的$k,l\in \mathbb{Z}$， $a^k=a^l⟺n\mid k-l$

定理:原根定理

设$p$为素数，则${\mathbb{Z}}_p^{\ast }$是$p-1$阶循环群。

理解：设$p$是一个素数，则模$p$的乘法群${\mathbb{Z}}_p^{\ast }$（即集合{1,2,…,p−1}\{1, 2, \dots, p - 1\}{1,2,…,p−1}在模$p$乘法下构成的群）是一个阶为$p-1$的循环群。

在素数乘法群中原根和生成元是一回事

定理：生成元的个数

设$G=⟨a⟩$为循环群，则

(1) 如果$|G|=\infty$，则$a$与$a^{-1}$是$G$的两个仅有的生成元；

(2) 如果$|G|=n$，则$G$恰有$\phi (n)$个生成元，且$a^r$是$G$的生成元的充分必要条件是$(n,r)=1$，其中$\phi (n)$是欧拉函数。

理解：

生成元的作用是“生成”整个群，即通过重复应用群运算（乘法或加法）可以得到群的所有元素。 如果$r$和$n$ 有公因子，那么$a^r$生成的子群只会是$G$的一个真子群，无法覆盖整个$G$。 只有当$r$和 $n$互质时，$a^r$ 的幂才能遍历所有 $n$个元素。如果不互质会陷入一个真子群的小循环。互质保证了遍历性

定理：循环群的任意一个子群也是循环群

推论1 设$\text{ord}a=n$，$r$是任一整数。如果$(n,r)=d$，则 $(a^r)=⟨a^d⟩$

推论2 设$G=⟨a⟩$为循环群

• 如果$|G|=\infty$，则$G$的全部子群为 $\{⟨a^d⟩\mid d=0,1,2,\dots \}$；
• 如果$|G|=n$，则$G$的全部子群为 $\{⟨a^d⟩\mid d$为$n$的正因子$\}$。

定理:循环群的结构定理

设$G$为循环群

(1) 如果$G=⟨a⟩$是无限循环群，则$G\cong (\mathbb{Z},+)$；

(2) 如果$G=⟨a⟩$是$n$阶循环群，则$G\cong ({\mathbb{Z}}_n,+)$。

1.6置换群和对称群

定义：对称群与置换群

非空集合$X$的全体可逆变换(从集合$X$到集合$X$的双射变换)关于映射的合成构成集合$X$的对称群$S_X$，并且把$S_X$的任一子群叫做$X$的一个变换群。如果$X$是由$n$个元素组成的有限集合，则通常把$X$的一个可逆变换(从集合$X$到集合$X$的双射变换)叫做一个$n$阶置换(permutation)，称$S_X$为$n$次对称群(symmetric group of degree $n$)，并把$S_X$记作$S_n$，同时称$S_n$的子群为置换群(permutation group)。
理解：定义在非空集合$X$上的全体双射变换（双射变换的复合还是双射变换，见下图解）自然构成一个群，这个群我们叫做对称群$S_X$或者$n$次对称群（$n$为集合$X$元素的数量）记作$S_n$。$S_n$的任意一个子群都叫做置换群。

定理:有限群的凯莱定理

任何一个有限群同构于一个置换群。

定理：n次对称群$S_n$的阶是$n！$

例子：$|S_1|=1!=1$；X={1}X = \{1\}X={1}；$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

$|S_2|=2!=2$；X={1,2}X = \{1,2\}X={1,2}；$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$

$|S_3|=3!=6$；X={1,2,3}X = \{1,2,3\}X={1,2,3}；$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$

定义:r轮换

设$\sigma$是一个$n$阶置换. 如果存在$1$到$n$中的$r$个不同的数$i_1,i_2,\cdots ,i_r$，使

$\sigma (i_1)=i_2$, $\sigma (i_2)=i_3$, $\cdots$, $\sigma (i_{r-1})=i_r$, $\sigma (i_r)=i_1$,

并且**$\sigma$保持其余的元素不变**，则称$\sigma$是一个长度为$r$的轮换(cycle)，简称$r$轮换，记作 $\sigma =(i_1{i}_2\dots i_r)$. $2$轮换称为对换(transposition).

理解:轮换的表示一般不是唯一的。对于置换 $\sigma =\left(\begin{array}{ccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ 2& 4& 3& 6& 5& 1& 7\end{array}\right)$ 可分别表示为 $\sigma =(1246)$ $=(2461)$ $=(4612)$ $=(6124)$.

也可以用下面的图理解：

定义：不相交轮换

设$\sigma =(i_1{i}_2\dots i_r)$与$\tau =(j_1{j}_2\dots j_s)$是两个轮换，如果 $$i_k\ne j_l,k=1,2,\cdots ,r;l=1,2,\cdots ,s,$$ 则称$\sigma$与$\tau$为两个不相交的轮换。

定理：任何两个不相交轮换的乘积是可以交换的.

定理：每一个置换可表位一些不相交轮换的乘积

例子：

将$\sigma =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 4& 3& 6& 1& 5& 2\end{array}\right)$表为不相交轮换的乘积.

容易看出，$\sigma$以下列顺序作用于$X$的元素： $$1⟼4⟼1,$$ $$2⟼3⟼6⟼2,$$ $$5⟼5.$$

故 $$\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 4& 3& 6& 1& 5& 2\end{array}\right)=(14)(236)(5)=(14)(236).$$

例子：

将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积： $$(3654)(3241)(3152).$$

解 设$\sigma =(3654)$，$\delta =(3241)$，$\eta =(3152)$，则有 $$\sigma \delta \eta :\begin{array}{rl}1& \stackrel{\eta }{⟼}5\stackrel{\delta }{⟼}5\stackrel{\sigma }{⟼}4\\ 4& \stackrel{\eta }{⟼}3\stackrel{\delta }{⟼}2\stackrel{\sigma }{⟼}2\\ 2& \stackrel{\eta }{⟼}4\stackrel{\delta }{⟼}1\stackrel{\sigma }{⟼}1\\ 3& \stackrel{\eta }{⟼}1\stackrel{\delta }{⟼}3\stackrel{\sigma }{⟼}6\\ 6& \stackrel{\eta }{⟼}6\stackrel{\delta }{⟼}6\stackrel{\sigma }{⟼}5\\ 5& \stackrel{\eta }{⟼}2\stackrel{\delta }{⟼}4\stackrel{\sigma }{⟼}3\end{array}$$ 由此得 $$(3654)(3241)(3152)=(142)(365).$$ 注意，计算的顺序应是从右到左。

定理：轮换的阶

如果$\sigma$是一个$r$轮换，则$\text{ord}\sigma =r$。

如果$\sigma$是一些不相交轮换的乘积 $$\sigma ={\sigma }_1{\sigma }_2\cdots {\sigma }_s,$$ 其中${\sigma }_i$是$r_i$轮换，则$\text{ord}\sigma =[r_1,r_2,\cdots ,r_s]$。

定理:置换转化为对换的奇偶不变性

将一个置换表为对换的乘积，所用对换个数的奇偶性是唯一的。

定义：奇置换和偶置换

可表成偶数个对换的乘积的置换叫偶置换(even permutation)，可表成奇数个对换的乘积的置换叫奇置换(odd permutation)。

由定义易得：

(1) 任何两个偶(奇)置换之积是偶置换；

(2) 一个偶置换与一个奇置换之积是奇置换；

(3) 一个偶(奇)置换的逆置换仍是一个偶(奇)置换。

定理:$S_n$中奇置换和偶置换个数

当$n>1$时，在全体$n$阶置换中，奇置换与偶置换各有$\frac{n!}{2}$个.

定理:n次交代群（交错群）

在$S_n$中，全体偶置换构成$S_n$的子群称为n次交代群（交错群），记作$A_n$.

*1.7置换在对称变换群中的应用

定义:对称变换群

使图形不变形地变到与自身重合的变换称为这个图形的对称变换(symmetric transformation). 一个图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群, 这个群称为这个图形的对称变换群.

例：正方形的对称变换群

由图1.7.1不难看出，正方形的对称变换只有两种：
(1) 分别绕中心点$O$按逆时针方向旋转$90^{\circ }$，$180^{\circ }$，$270^{\circ }$，$360^{\circ }$的旋转；
(2) 关于直线$L_1$，$L_2$，$L_3$，$L_4$的镜面反射。

为了用置换来表示正方形的对称变换，用数字$1$，$2$，$3$，$4$来代表正方形的四个顶点（图1.7.1）。显然，正方形的每一个对称变换都导致了这四个顶点的一个置换。如果对称变换将顶点$i$变为顶点$k_i$，那么用置换
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ k_1& k_2& k_3& k_4\end{array}\right)$$
来表示这个对称变换。

表1.7.1 正方形的对称变换及其置换表示

对称变换	置换表示
$c$表示绕中心旋转$90^{\circ }$	$(1234)$
$c^2$表示绕中心旋转$180^{\circ }$	$(13)(24)$
$c^3$表示绕中心旋转$270^{\circ }$	$(1432)$
$c^4$表示绕中心旋转$360^{\circ }$（恒等变换）	$(1)$
$v_1$表示关于$L_1$的反射	$(12)(34)$
$v_2$表示关于$L_2$的反射	$(14)(23)$
$v_3$表示关于$L_3$的反射	$(24)$
$v_4$表示关于$L_4$的反射	$(13)$

由表1.7.1可知，两个对称变换的乘积对应于相应的置换的乘积。所以正方形的对称变换群是$S_4$的一个子群，记作$D_4$。由表1.7.1可知$|D_4|=8$。

一般地，正$n$边形（$n⩾3$）的对称变换群是$S_n$的一个子群，记作$D_n$，称为二面体群。易知，正$n$边形有$n$个旋转（包括恒等变换）和$n$个反射，所以，二面体群的阶数是$2n$。

第二章：群的进阶

2.1子群的陪集

定义：子群的乘积

设$A$与$B$是群$G$的两个非空子集，称集合 AB={ab∣a∈A,b∈B}AB = \{ab \mid a \in A, b \in B\}AB={ab∣a∈A,b∈B} 为群的子集$A$与$B$的乘积

定理：2.1.1

设$A,B,C$是群$G$的非空子集，$g$是群$G$的一个元素，则

(1) $A(BC)=(AB)C$；

(2) 如果$gA=gB$或$Ag=Bg$，则$A=B$；

(3) 如果$H$是群$G$的子群，则$H\cdot H=H$；

(4) 如果$A,B$是群$G$的两个子群，则$AB$也是群$G$的子群的充分必要条件是$AB=BA$。

定义：左右陪集

设$G$是群，$H$是$G$的子群. 对任意的$a\in G$，群$G$的子集 aH={ah∣h∈H}与Ha={ha∣h∈H}aH = \{ah \mid h \in H\} \quad \text{与} \quad Ha = \{ha \mid h \in H\}aH={ah∣h∈H}与Ha={ha∣h∈H} 分别称为$H$在$G$中的左陪集 (left coset) 和右陪集 (right coset).

定理: 2.1.2

设$H$是群$G$的子群，$a,b\in G$，则

(1) $a\in aH$；

(2) $aH=H$的充分必要条件是$a\in H$；

(3) $aH$为子群的充分必要条件是$a\in H$；

(4) $aH=bH$的充分必要条件是$a^{-1}b\in H$；

(5) $aH$与$bH$或者完全相同，或者无公共元素；

(6) $|aH|=|bH|$。

并且仅有H是群

定理：2.1.3

设$H$是群$G$的子群，用$S_L$表示$H$在$G$中的全体左陪集（即SL={gH∣g∈G}S_L = \{ gH \mid g \in G \}SL​={gH∣g∈G}，其中$gH$是左陪集），用$S_R$表示$H$在$G$中的全体右陪集（即SR={Hg∣g∈G}S_R = \{ Hg \mid g \in G \}SR​={Hg∣g∈G}，其中$Hg$是右陪集）则$|S_L|=|S_R|$。

理解：子群$H$通过"左乘群$G$中元素"得到的所有左陪集，和通过"右乘群$G$中元素"得到的所有右陪集，数量是一样的。

定义:子群的指数

设$G$是群，$H$是$G$的子群. 称子群$H$在群$G$中的左陪集或右陪集的个数 (有限或无限) 为$H$在$G$中的指数 (index)，记作$[G:H]$.

定理：拉格朗日定理

设$G$是一个有限群，$H$是$G$的子群，则 $$|G|=|H|[G:H].$$ 拉格朗日定理说明，有限群$G$的子群$H$的阶数与它在$G$中的指数，都是群$G$的阶数的因子。

理解：拉格朗日定理说明，有限群$G$的子群$H$的阶数与它在$G$中的指数，都是群$G$的阶数的因子.

推论 1 ：设$G$是有限群，则$G$中每一个元素的阶都是$|G|$的因子.
理解：因为 $a$ 的阶就是 $⟨a⟩$ 的阶，而 $⟨a⟩$ 的阶是 $|G|$ 的因子，所以 $a$ 的阶是 $|G|$ 的因子. □

推论 2 ：设$G$为有限群，$|G|=n$，则对任意的$a\in G$，有$a^n=e$.

注：将推论2应用到模$p$单位群${\mathbf{Z}}_p^{\ast }$（$p$是素数），可以得到初等数论中著名的定理：

定理 2.1.5（费马 (Fermat) 小定理） 设$p$为素数，则对任意一个与$p$互素的整数$a$，有
$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$$

2.2正规子群与商群

定义：正规子群

设$H$是群$G$的子群，如果对每个$a\in G$，都有$aH=Ha$，则称$H$是群$G$的一个正规子群(normal subgroup)或不变子群(invariant subgroup)，记作$H◃G$。

定理：2.2.1

设$G$是群，$H$是$G$的子群，则下列四个条件等价：

(1) $H$是$G$的正规子群；

(2) 对任意的$a\in G$，有$aH{a}^{-1}=H$；

(3) 对任意的$a\in G$，有$aH{a}^{-1}\subseteq H$；

(4) 对任意的$a\in G$，$h\in H$，有$ah{a}^{-1}\in H$。

定理：2.2.2

交换群的任意子群都是正规子群,而循环群一定是交换群所以循环群的任意子群也一定是正规子群

定理：2.2.3

设$G$为群，$H_1,H_2$是$G$的正规子群，则$H_1\cap H_2$与$H_1{H}_2$都是$G$的正规子群。

定义：商群

设$G$是群，$H$是$G$的一个正规子群，则$H$的所有陪集组成的集合 G/H={aH∣a∈G}G/H = \{aH \mid a \in G\}G/H={aH∣a∈G} 关于陪集的乘法$aH\cdot bH=(ab)H$构成群，称为群$G$关于子群$H$的商群(quotient group)，仍记作$G/H$.

推论1：

设$G$为群，$H$是$G$的正规子群，则

(1) 商群$G/H$的单位元是$eH(=H)$；

(2) $aH$在$G/H$中的逆元是$a^{-1}H$。

推论2：

设$G$为群，$H$是$G$的任一子群。如果$G$是交换群，则商群$G/H$也是交换群。

推论3：

有限群$G$的商群的阶是群$G$的阶数的因子。

研究商群的意义：

商群是一类极为重要的群，它从一开始就受到数学家们的特别关注。这是因为，商群是由其正规子群的陪集所构成，所以它在许多方面有与原来的群相似的性质（如果子群$H\ne G$）；同时，商群的结构又比原来的群简单一些（只要子群H≠{e}H \neq \{e\}H={e}）。讨论商群的性质相对来说要比讨论原来的群的性质容易。这样，借助于商群，我们就可以部分地了解原来群的性质。从这一点来看，商群在理论上和实践上的意义当然是不言而喻的了。作为正规子群的应用。

理解：考虑一个G群，它可以被可视化为一个较大圆圈内的一组点。在这个圆圈内，有代表子群的小圆圈。 现在，想象N是这个表示中的一个特殊子群。商群G/N可以被视作将每个陪集的所有元素折叠成一个点。这创造出一个简化的结构，它仍然反映出群的性质。

举例：

设$G$为有限交换群，$|G|=n$。证明：对$n$的任一素因子$p$，$G$必有阶为$p$的元素。

证明: 对$n$应用数学归纳法。

首先，当$n=2$时，结论显然成立。

假设结论对所有阶小于$n$的交换群成立。考察阶为$n$的交换群$G$，设$p$为$n$的任一素因子。

任取$a\in G$，$a\ne e$，设$\text{ord}a=r$。

(1) 如果$r=pk$，则$\text{ord}{a}^k=p$，结论成立。

(2) 如果$p\nmid r$，令$H=⟨a⟩$，则$H$为$G$的正规子群（见例3），且商群$G/H$为交换群（推论2）。而$|G/H|=\frac{n}{r}<n$，且因$p\nmid r$，所以$p\mid \left(\frac{n}{r}\right)$。从而由归纳假设知，存在$bH\in G/H$，使$\text{ord}bH=p$，则$b^p\in H$。于是$b^{pr}=e$。由于$p\nmid r$，所以$(bH{)}^r\ne H$，即$b^r\notin H$，于是$b^r\ne e$。而$(b^r{)}^p=e$，所以$\text{ord}{b}^r=p$。

从而由归纳法原理知结论成立。

2.3群的同态和同构基本定理

引言：

1.3 节曾经说过，研究一件事物通常有三种方法，其中之一就是从一件事物与另一件事物的联系中去了解事物。在数学上，数学对象之间的联系往往是通过某种特殊的映射来反映的。这些映射不但建立了两个数学对象的元素之间的联系，而且也要能反映出这两个数学对象之间的某种结构上的联系。比如，线性代数中的线性映射就具有这一特点，它既建立了两个线性空间的元素之间的对应关系，同时也保持了双方的某些运算性质。在 1.4 节中所讨论过的群同构的概念也具有这一特性。但是，群同构的概念对于讨论群与群之间的关系来说条件太强了，它首先要求群与群的元素之间有一个一一对应的关系。在群论中，在讨论群与群之间的联系时，一个应用得更为广泛的概念是群同态的概念。与同构一样，群同态保持了群双方的运算，但却不要求群的元素之间是一一对应的。因此可以说，群同态是群同构的概念的自然推广。通过群同态，可以了解一个群与它的商群以及它的同态象之间的密切的联系。而这种联系，无论对于群论本身，还是对于群的应用，都是极为重要的。本节首先给出群同态的定义，然后讨论群同态的一些最基本的性质，最后证明群同态的基本定理。

定义：同态

设$(G,\cdot )$与$(G^{\prime },\ast )$是两个群，$\varphi$是$G$到$G^{\prime }$的映射。如果对任意的$a,b\in G$有 $$\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\ast \varphi (b),\text{\hspace{1em}(2.3.1)}$$ 则称$\varphi$是群$G$到$G^{\prime }$的一个同态映射(homomorphism)，简称同态。

当同态映射$\varphi$是满射时，称$\varphi$为群$G$到$G^{\prime }$的满同态(epimorphism)，并称群$G$与$G^{\prime }$同态，记作$\varphi :G\sim G^{\prime }$(或$G\stackrel{\varphi }{\sim }{G}^{\prime }$)。

当同态映射$\varphi$是单射时，称$\varphi$为$G$到$G^{\prime }$的单同态(monomorphism)。

既是单射又是满射的同态是同构

定义: 自然同态

设 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个正规子群（即 $N◃G$）。定义映射 $\varphi :G\to G/H$，对于任意 $g\in G$，令 $\varphi (g)=gH$。这里 $gH$ 是 $g$ 所在的陪集，也就是商群 $G/H$ 中的一个元素。 这个映射 $\varphi$ 称为从群 $G$ 到商群 $G/H$ 的自然同态（或典范同态）。

定理:2.3.1同态下元素的关系

设$\varphi$是群$G$到群$G^{\prime }$的同态映射，$e$与$e^{\prime }$分别是$G$与$G^{\prime }$的单位元，$a\in G$，则

(1) $\varphi$将$G$的单位元映到$G^{\prime }$的单位元，即$\varphi (e)=e^{\prime }$；

(2) $\varphi$将$a$的逆元映到$\varphi (a)$的逆元，即$\varphi (a^{-1})=(\varphi (a){)}^{-1}$；

(3) 设$n$是任一整数，则$\varphi (a^n)=(\varphi (a){)}^n$；

(4) 如果$\text{ord}a$有限，则$\text{ord}\varphi (a)\mid \text{ord}a$。

定理：2.3.2同态下子群的关系

设$\varphi$是群$G$到$G^{\prime }$的同态映射，$H$与$K$分别是$G$与$G^{\prime }$的子群，则

(1) $\varphi (H)$是$G^{\prime }$的子群；

(2) ${\varphi }^{-1}(K)$是$G$的子群；

(3) 如果$H$是$G$的正规子群，则$\varphi (H)$是$\varphi (G)$的正规子群；

(4) 如果$K$是$G^{\prime }$的正规子群，则${\varphi }^{-1}(K)$是$G$的正规子群。

定义：核

设$\varphi$是群$G$到$G^{\prime }$的同态映射，$e^{\prime }$是$G^{\prime }$的单位元，则称$e^{\prime }$在$G$中的原象
ϕ−1({e′})={a∈G∣ϕ(a)=e′}\phi^{-1}(\{e'\}) = \{a \in G \mid \phi(a) = e'\}ϕ−1({e′})={a∈G∣ϕ(a)=e′}
为同态映射$\varphi$的核(kernel)，记作$\text{Ker}\varphi$.

定理：2.3.3

设$\varphi$是群$G$到$G^{\prime }$的同态映射，则$\text{Ker}\varphi$是$G$的正规子群。

定理:2.3.4（群同态基本定理）

设$\varphi$是群$G$到群$G^{\prime }$的满同态，$K=\text{Ker}\varphi$，则 $$G/K\cong G^{\prime }.$$

理解：群同态基本定理是群论中一个十分重要而且经常用到的定理. 由这个定理可知, 从同构的观点来看, 群的同态象就是群的商群. 因此, 既可以由群的同态象去研究群的商群, 同时又可以借助于群的商群对群的同态象作系统的描述. 以下面的例子来说明群同态基本定理的某些应用.

2.4群的直积

2.5群在集合上作用

2.6西罗定理

参考：

近世代数 | 韩士安, 林磊 | download on Z-Library近世代数 ——韩士安

代数结构入门：群、环、域、向量空间 - 知乎

[【静夜思】一些抽象代数的核心思想和实际应用_抽象代数有什么用-CSDN博客](