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🎯 这篇文章探讨了解决经典N皇后问题的方法，采用回溯算法在标准棋盘上放置皇后，确保它们之间不能相互攻击。文中首先介绍了基本的思路和实现方式，通过递归尝试每个可能的位置并回退错误选择。为了提升效率，进一步提出了优化策略，包括使用额外的数组来标记已占用的列和斜线，避免重复检查。文章详细解释了如何利用这些技术减少时间复杂度，并给出了完整的Java代码实现，展示了从初步方案到性能优化的全过程。

📖 N 皇后 📖

https://leetcode.cn/problems/n-queens/description/

初步方案

思路

从第一行开始，尝试在该行的每一列放置皇后。

递归搜索到下一行，尝试在每一列放置皇后，并判断所放置位置是否与同一列或同一斜线的皇后互相攻击。下图中标有 X 的布局，说明皇后之间互相攻击

对于皇后之间没有互相攻击的布局，继续递归在下一行放置皇后

当所有行都搜索过，结束搜索

🧑‍💻代码实现🧑‍💻

• 先初始化一个由 '.' 构成的棋盘
• 后续递归填充每一行的格子时，遍历该行的所有列，将对应列的格子设置为 'Q' ，然后继续递归搜索到下一行
• 下一行搜索结束，回到当前行，将当前行当前列的'Q'回退为'.'，然后尝试下一列
• 搜索过程中，一旦能遍历完所有行，就记录结果

public List<List<String>> solveNQueens(int n) {List<List<String>> result = new ArrayList<>();// 初始化棋盘char[][] chessboard = new char[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {Arrays.fill(chessboard[i], '.');}backtrack(result, chessboard, 0, n);return result;
}private void backtrack(List<List<String>> result, char[][] chessboard, int layer, int n) {if (layer == n) {// --for-- 遍历到最后一行了，保存结果就结束List<String> path = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < chessboard.length; i++) {path.add(new String(chessboard[i]));}result.add(path);}for (int j = 0; j < n; j++) {// --for-- 遍历棋盘中当前行的每一列boolean isCanPlace = true;if (layer > 0) {// --if-- 如果是第二行以上，需要判断上面行有没有皇后排斥。第一行不需要看for (int i = 0; i < layer; i++) {// 判断同列是否有皇后if (chessboard[i][j] == 'Q') {isCanPlace = false;break;}// 判断斜对角是否有皇后if (((j - (layer - i)) >= 0 && chessboard[i][j - (layer - i)] == 'Q') ||(j + (layer - i) < n && chessboard[i][j + (layer - i)] == 'Q')) {isCanPlace = false;break;}}}if (isCanPlace == true) {// --if-- 当前位置可以放皇后chessboard[layer][j] = 'Q';backtrack(result, chessboard, layer + 1, n);chessboard[layer][j] = '.';}}
}

代码简化

public List<List<String>> solveNQueens(int n) {List<List<String>> result = new ArrayList<>();// 使用char数组，方便后面转化为字符串char[][] path = new char[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {Arrays.fill(path[i], '.');}backtrack(result, path, 0, n);return result;
}private void backtrack(List<List<String>> result, char[][] path, int row, int n) {if (row == n) {List<String> temp = new ArrayList<>(n);for (int i = 0; i < path.length; i++) {temp.add(new String(path[i]));}result.add(temp);}for (int j = 0; j < n; j++) {// 检测当前列、同一斜线是否有皇后boolean flag = false;for (int i = 0; i < row; i++) {if (path[i][j] == 'Q'// 检测竖线|| (j + row - i < n && path[i][j + row - i] == 'Q')// 检测左下-右上斜线|| (j - row + i >= 0 && path[i][j - row + i] == 'Q')// 检测又下-左上斜线) {flag = true;break;}}if (flag) continue;path[row][j] = 'Q';backtrack(result, path, row + 1, n);path[row][j] = '.';}
}

性能优化

优化思路

上面的实现中，在放置皇后之前，需要遍历之前的行，检查前面的行是否有同列、同斜线的皇后与当前皇后相互攻击，这个过程性能较差，可以优化

比如对同列皇后的判断，其实可以在搜索之前先创建一个长度为 n 的数组 usedCol ，usedCol[j] 表示第 j 列是否有皇后，后续在搜索第 j 列时，如果判断usedCol[j]为 true ，则说明该列已经有皇后，跳过当前列，尝试下一列

对列的判断容易优化，那斜线要怎么判断？

首先看 45 度斜线，如下图所示，相同颜色的格子表示处于同一斜线，这些处于同一 45° 斜线的格子，它们的行索引+列索引都是一个相等的值。例如 n = 4 的棋盘，值行索引 + 列索引从左上角到右下角依次从 0 变化到 6 ，那么我们只需要创建一个数组来表示每一斜线上是否有皇后即可，数组的长度为 2 * n - 1

再看 135 度斜线，如下图所示。每一条 135 度斜线的行索引 - 列索引也是一个定值，虽然有的定值是负数，但是我们可以通过将行索引 - 列索引添加n - 1，将其转化为正值，该值从右上角到左下角依次从 0 变化到 6，因此也可以创建一个数组来表示每一 135 度斜线上是否有皇后，数组的长度为 2 * n - 1

其实这个思路就是用空间换时间，通过使用数组，减少后面的循环判断用时

🧑‍💻代码实现🧑‍💻

public List<List<String>> solveNQueens(int n) {List<List<String>> result = new ArrayList<>();// 使用char数组，方便后面转化为字符串char[][] path = new char[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {Arrays.fill(path[i], '.');}// 用来标记每一列是否有皇后boolean[] usedCol = new boolean[n];// 用来标记每一条 45 度斜线是否有皇后boolean[] usedDiag45 = new boolean[2 * n - 1];// 用来标记每一条 135 度斜线是否有皇后boolean[] usedDiag135 = new boolean[2 * n - 1];backtrack(result, path, 0, n, usedCol, usedDiag45, usedDiag135);return result;
}private void backtrack(List<List<String>> result, char[][] path, int row, int n, boolean[] usedCol, boolean[] usedDiag45, boolean[] usedDiag135) {if (row == n) {List<String> temp = new ArrayList<>(n);for (int i = 0; i < path.length; i++) {temp.add(new String(path[i]));}result.add(temp);return;}for (int col = 0; col < n; col++) {// 检测当前列、同一斜线是否有皇后if (usedCol[col] || usedDiag45[row + col] || usedDiag135[row - col + n - 1]) {continue;}// 标记列、45斜线、135斜线已有皇后usedCol[col] = true;usedDiag45[row + col] = true;usedDiag135[row - col + n - 1] = true;path[row][col] = 'Q';backtrack(result, path, row + 1, n, usedCol, usedDiag45, usedDiag135);// 取消标记列、45斜线、135斜线的皇后usedCol[col] = false;usedDiag45[row + col] = false;usedDiag135[row - col + n - 1] = false;path[row][col] = '.';}
}

经过优化，算法效率确实有显著的改进