模态信息论中布尔格的基础作用
模态信息论中布尔格的基础作用
刘钢
（中国社会科学院哲学研究所）
一、引言
模态信息论是我于1997年在博士论文中提出的学说。首次见诸正式刊物是在《自然辩证法通讯》（2004年4期）。当时，该理论不过就是提出个名称，没有具体的内容。以后我就不断充实该理论，如2005年赴瑞典开E-CAP05的国际大会，我宣读了《通向信息哲学的东方近路》（英文），回国后又将其整理发表在《哲学研究》（2005年4期），2007年E-CAP05出版英文专著《Computation, Information, Cognition: Nexus and Liminal）《计算、信息、认知：交叉与对话》，我的文章收入该书的第六章。
2007年又在Springer-Verlag出版的《中国哲学前沿》发表了《Information of Philosophy，The Future Foundation of Chinese Philosophy of Science and Technology》（信息哲学，未来中国科学技术哲学的基础），该文刚发表，俄罗斯学者布洛夫来哲学所找到我授权，由他译成俄文，发表在俄罗斯科学院主办的《哲学问题》，2007年我的专著《信者哲学探源》由北京金城出版社出版。可以说2007年算是我的学术丰收年。我一直任北京师范大学莱布尼茨研究中心的研究员，2011年，在莱布尼茨供职三十多年的德国汉诺威大学组织召开第九届世界莱布尼茨大会，我为大会贡献英文稿《From Leibniz to Modal Information Theory》（从莱布尼茨到模态信息论），这些都是围绕着模态信息论做的工作。
2017年我的工作进入关键的突破破口，我撰写了一篇《论先天易图与布尔代数的等价性——从格论的观点看》《哲学动态》（2017年11期），这才将模态信息论的基石彻底夯实，布尔格即布尔代数，我巧妙地将其与邵雍的三爻先天易图同构化，是非常漂亮的工作。尤其是在中西汇通方面，没有一点问题。2018年我担任北京大学承办的第24界世界哲学大会第72分会《信息与数字文化》的中方主席，宣读的论文就是有关先天易图与布尔代数同构方面的论文。这样模态信息论的基础就打牢了，我正从事布尔格与正交模格的打通工作，让其与量子信息理论接轨。目前任务基本完成而且在量子信息论方面更是成果颇丰。
二、 《易经》的符号体系（卦象）与现代数学的邂逅
《易经》作为华夏文明的元典，其核心是由“—”（阳爻）和“- -”（阴爻）两种基本符号构建的六十四卦系统。而其中最为根本的，是由三个爻组成的八个基本卦象，即八卦（乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑），亦称“先天易图”。数千年来，这套系统主要被用于占卜和哲学思辨，其内涵被赋予了“阴阳消长”、“刚柔相济”的宇宙观。
然而，自17世纪德国哲学家、数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）通过传教士白晋接触到八卦图以来，其与现代数学的关联便被逐步揭示。莱布尼茨惊讶地发现，八卦系统与他正在研究的二进制算术完美契合。每一个三爻卦象都可以唯一地对应一个三位的二进制数（这一发现不仅是东西方思想史上的一次里程碑式交汇，更在无意中为后世信息科学的诞生埋下了伏笔。
莱布尼茨的二进制后来成为现代计算机科学的数学基石，而由英国数学家乔治·布尔（George Boole）创立的布尔代数，则是数字逻辑电路的直接理论来源。本文将首先严格论证先天易图（三爻）与布尔代数（具体为布尔格）之间存在数学上的同构关系。随后，我将视野模态信息论（Modal Information Theory）转向经典信息，探讨这种同构关系如何为理解和建模信息中的模态概念（如“可能”、“必然”、“已知”、“相信”）提供一种新颖而富有启发性的框架。
三、 先天易图（卦象）与布尔格的数学同构
要理解先天易图与布尔格的同构，首先需要明确两个核心概念。
先天易图(卦象）作为符号系统
先天易图（卦象）是一个由两个基本元素（阴、阳）生成的三位符号系统。它具有以下特征：
阴爻（记为0）和阳爻（记为1）。
每个卦象是一个有序三元组（上爻，中爻，下爻），共有2³ = 8种可能的组合。
卦象之间可以通过“变爻”（即翻转某一位置的0和1）相互转化。
布尔代数与布尔格
布尔代数是一个抽象的代数系统，定义在一個集合上，包含“与”（AND，∧）、“或”（OR，∨）、“非”（NOT，¬）三种基本运算，并满足一系列公理。一个最简单的非平凡布尔代数是基于集合{0, 1}的二元布尔代数。当我们考虑n个布尔变量的所有可能赋值时，就构成了一个布尔格（Boolean Lattice），或称超立方体格。现在，我们可以构建一个从先天易图系统到三元布尔格的同构映射（Isomorphism）：
- 将每一个三爻卦象映射为一个三维布尔向量。
乾 ☰ → (1, 1, 1)
兑 ☱ → (1, 1, 0)
离 ☲ → (1, 0, 1)
震 ☳ → (1, 0, 0)
巽 ☴ → (0, 1, 1)
坎 ☵ → (0, 1, 0)
艮 ☶ → (0, 0, 1)
坤 ☷ → (0, 0, 0)
偏序关系： 在布尔格中，向量(0,0,0)是下确界（坤，代表“全阴”），(1,1,1)是上确界（乾，代表“全阳”）。一个卦象可以通过将某些0变为1来“上升”到另一个卦象，这对应着格中的偏序关系，也与《易经》中“阳尊阴卑”、“由坤向乾”的生成思想暗合。
补运算（NOT）： 将一个卦象的所有爻取反（0变1，1变0），得到其“互补”卦。例如，乾(1,1,1)的补是坤(0,0,0)，坎(0,1,0)的补是离(1,0,1)。这完美对应了布尔代数中的“非”运算。
交与并运算（AND/OR）： 两个卦象进行“与”运算，即对应位置进行逻辑与，得到的是它们在格中的最大下界；进行“或”运算，则得到最小上界。例如，震(1,0,0) ∧ 巽(0,1,1) = (0,0,0)（坤），震(1,0,0) ∨ 巽(0,1,1) = (1,1,1)（乾）。
由此可见，先天易图的八卦系统在结构上与三元布尔格完全同构。它们不仅仅是表面上的对应，而是在对象、关系、运算等所有数学结构上的一致性。这一定位，将《易经》从纯粹的占卜和哲学文本，提升到了一个具有精密数学结构的符号模型。
四、 同构关系在模态信息论中的作用
模态信息论是模态逻辑和信息论的交叉领域。它不只关心信息的“量”（如香农信息论），更关心信息的“质”，即信息的模态属性：某个信息是“必然的”还是“可能的”？某个主体“知道”还是“相信”某个信息？这些概念在分布式系统、网络安全、人工智能和认知科学中至关重要。先天易图与布尔代数的同构，为模态信息论提供了以下独特的视角和工具。它将“质”和“量”紧密粘合在一起，成为“三合一”的新学说。
4. 1、作为可能世界语义的直观模型
模态逻辑的核心是“可能世界语义”（Possible World Semantics），由克里普克（Saul Kripke）提出。在该理论中，一个命题的真值取决于它所在的世界，而“必然性”□P意味着P在所有可能世界中为真，“可能性”◇P意味着P在至少一个可能世界中为真。世界之间通过“可达关系”连接。
先天易图的八卦系统可以完美地建模一个简单的可能世界体系：
4. 2、可能世界： 每一个卦象代表一个可能世界或一个信息状态，从范畴论的角度说，也就是模态映射。这个世界由三个二元属性（三位布尔变量）定义。
4. 3、可达关系： 卦象之间的变爻关系，自然地定义了可达关系。例如，我们可以定义“单步可达”：如果一个世界（卦象）可以通过改变一个爻变成另一个世界，那么它们彼此可达。这形成了一个图结构（哈斯图，一个三维超立方体），直观地展示了所有可能状态之间的转换路径。
4. 4、模态命题的赋值： 在一个给定的卦象世界w中，我们可以评估基本命题的真假。而模态命题的真假则通过考察从w可达的所有其他卦象世界来确定。例如，在一个分布式系统中，三个二进制开关的状态可以用一个卦象来表示。命题“系统可能进入安全状态”（◇Safe）的验证，就转化为在从当前状态可达的所有卦象中，检查是否存在一个代表“安全”的卦象。这种模型将抽象的模态逻辑概念具象化为可操作的图形和符号推理，极大地降低了理解和建模的门槛。
4 5、 面向模态信息的高效编码与推理
布尔代数是所有数字信息编码和压缩技术的基础。先天易图与布尔代数的同构，暗示了其本身就是一个古老而高效的信息编码系统。在模态信息论的语境下，这种编码可以超越简单的真假值，承载模态信息。
状态压缩表示： 一个复杂的系统状态，可以用一个卦象（一个三维布尔向量）来简洁表示。在认知逻辑中，多个主体的知识状态可以并行编码。
模态算子的计算化： 模态算子“必然”和“可能”可以通过对可达卦象的布尔运算来近似或实现。例如，计算“在当前状态下，P是必然的”，可以转化为：对所有从当前卦象一步可达的卦象，检查P是否为真。这本质上是一个在布尔格上的遍历和逻辑检查过程，非常适合计算机处理。
信息流的符号推演： 《易经》本身就是一个关于“变化”的系统。卦象之间的演变（如“错卦”、“综卦”）可以视为信息在不同模态上下文中的流动和转换规则。这为研究动态认知逻辑（Dynamic Epistemic Logic）中的信息更新和信念修正提供了启发性的符号演算工具。
4. 6、为人工智能与认知科学提供文化启发性模型
在人工智能领域，如何处理不确定知识和进行常识推理是一个核心挑战。基于规则和概率的模型虽然强大，但有时缺乏灵活性。先天易图系统提供了一种基于符号和关系的替代性思维模型。
不确定知识表示： 一个卦象可以不代表一个确定的状态，而代表一组可能的状态（即一个“模糊”的或“概然”的世界）。卦象之间的变化可以模拟在证据不完全的情况下，智能体信念的动态调整过程。
认知架构的灵感： 从认知科学角度看，人类推理并非总是严格的逻辑演算，而常常是模式识别和类比思维。八卦系统作为一种高度符号化、结构化的模式系统，可以模拟人类在面对复杂局面时，如何将多维信息（三爻）整合成一个整体意象（卦象），并据此进行判断和决策的认知过程。这种“整体性”思维模式，是对西方分析性思维的有益补充。
五. 搭建东西方哲学与信息哲学的桥梁
从哲学层面看，这种同构具有深远的意义。《易经》的核心思想是“易”——变易、简易、不易。这与模态信息论所关注的信息的动态性、表示的经济性和逻辑的永恒性不谋而合。
“变易”与信息动态： 卦象的流转生动地体现了信息状态的永恒变化，这与模态逻辑中可能世界的迁移如出一辙。
“简易”与信息压缩： 用简单的阴阳符号表征复杂的世界万象，体现了最基本的信息压缩与抽象原则。
“不易”与逻辑结构： 无论卦象如何变化，其背后由布尔格所定义的数学结构是恒定不变的。这象征着在纷繁复杂的信息现象之下，存在着永恒的逻辑规律。因此，对先天易图的数学重释，使得东方古老的哲学智慧能够参与到现代信息哲学的对话中，为思考信息的本质、边界和动力学提供了一个富含文化底蕴的元理论视角。
六、 结论与展望
先天易图（卦象）与布尔格（布尔代数）的等价性是深刻的：
卦象间的生成、包含关系与布尔向量间的偏序关系同构。
卦象的“交”、“并”、“补”运算与布尔代数的“与”、“或”、“非”运算同构。
整个八卦系统与三元布尔代数的代数模型在数学上无法区分
从格论的观点看，先天易图（卦象）与布尔代数的等价性不再是一个哲学类比或表面映射，而是一个经过严格数学证明的结论。这一视角将我们的理解提升到了一个新的高度：
1、结构的必然性： 先天易图（卦象）并非偶然地可以与二进制对应，其内在的阴阳对立、卦象排序与生成规则，本身就必然地诱导出一个布尔格的结构。这是其符号系统内在的数学本质。
2、语言的统一性： 格论作为更基础、更抽象的数学语言，成功地将易学中的“阴阳”、“卦序”、“错卦”等核心概念，翻译成了现代数学与计算机科学中的“偏序”、“上下确界”、“补元”等标准术语。这为跨学科对话提供了精确的桥梁。
3、智慧的再发现： 邵雍等古代先贤构建的先天易图学，虽然在表述上是象数化和哲学化的，但他们所把握到的，正是这个高度对称、逻辑自洽的布尔结构。这体现了人类理性在探寻宇宙秩序时，所能达成的某种超越时代与文化的共识。
先天易图（卦象）与布尔格（布尔代数）之间严谨的数学同构关系，并深入探讨了这一关系在模态信息论中的多重作用。研究表明，这一同构绝非历史的巧合，而是揭示了人类对不同领域内普遍结构规律的共同发现。在模态信息论中，先天易图不再是一个神秘的古董，而是转型为一个：
结构清晰的可能世界模型，用于可视化和计算模态概念。
富有启发性的符号编码系统，为模态信息的表示与处理提供新思路。
连接计算、逻辑与认知的跨学科框架，尤其在人工智能的常识推理和人类认知建模方面展现出潜力。
沟通科学与人文的哲学桥梁，促使我们以更包容、更综合的视角审视信息的本质。
当然，我们也必须认识到，将先天易图直接应用于现代工程实践仍面临挑战，其价值目前更多体现在理论启发和模型构建层面。未来的研究可以沿着以下几个方向展开：一是将三爻系统扩展到六爻（六十四卦），构建更复杂的模态模型；二是将这种符号模型与具体的计算机形式化验证工具（如模型检测、自动驾驶、中医现代化等）相结合；三是在实验认知科学中，检验卦象模式是否真的对应于人类特定的认知图式。
通过对先天易图与布尔代数同构关系的挖掘及其在模态信息论中的应用，我们见证了“古老”与“现代”、“人文”与“科学”之间一次富有成果的融合。这不仅为信息科学的发展注入了新的思想活力，也为重新评估和激活全球传统文化遗产的当代价值，树立了一个光辉的范例。它或许将成为目前的“显学”——多模态的理论基础。综上所述，通过格论的透镜，我们清晰地看到，先天易图不仅是一套古老的符号系统，更是一个精密的、先于布尔代数数百年前被发现的布尔代数模型。这一等价性的确立，激励我们在传统智慧与现代科学的交叉点上，继续探寻更深邃的规律。
注：本文受中国社会科学院老干部局《中国文化与信息哲学》课题资助。