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使用matlab进行牛顿迭代求函数极值的方法

news 2025/10/4 12:10:18

以下是一个使用 牛顿迭代法（Newton-Raphson Method） 求解非线性方程的 MATLAB 例程。根据你的要求：

给定初值 t
使用步长 h 近似导数（因为你说“步长 h”，我们假设你希望用数值微分）
迭代终止条件为：|f'(t)| ≈ 0（这实际上不太标准，通常终止条件是 |f(t)| < tol 或 |t_{k+1} - t_k| < tol，但既然你明确要求 f'(t) = 0，我们理解为你想找到函数的驻点，即导数为零的点）

目标：

用牛顿法寻找函数(t) 的驻点（即f′(t)=0 的解），这等价于对f′(t) 使用牛顿法求根。

所以我们实际上是求解：

Find t such that f′(t)=0

为此，我们需要：

f′(t)
f′′(t)

若不知道解析导数，可用数值方法近似。

MATLAB 程序代码如下：

function newton_find_critical_point()
% 牛顿法寻找函数 f(t) 的驻点（f'(t) = 0）
% 使用数值微分计算一阶和二阶导数

% 参数设置
t = 2.0; % 初值
h = 1e-5; % 步长（用于数值微分）
tol = 1e-8; % 迭代终止精度（|f'(t)| < tol）
max_iter = 100; % 最大迭代次数

fprintf('牛顿法寻找 f''(t)=0 的解（驻点）\n');
fprintf('初值 t0 = %.6f, 步长 h = %.2e\n', t, h);

for iter = 1:max_iter
% 数值计算一阶导数 f'(t)
fp = (f(t + h) - f(t - h)) / (2*h); % 中心差分

% 若 |f'(t)| 已足够小，停止迭代
if abs(fp) < tol
fprintf('收敛！在第 %d 次迭代后停止。\n', iter);
fprintf('驻点 t* = %.8f, f''(t*) = %.2e\n', t, fp);
return;
end

% 数值计算二阶导数 f''(t)
fpp = (f(t + h) - 2*f(t) + f(t - h)) / (h^2); % 二阶中心差分

% 避免除以零
if abs(fpp) < 1e-14
error('二阶导数接近零，无法继续牛顿迭代。');
end

% 牛顿迭代更新：t_{k+1} = t_k - f'(t_k)/f''(t_k)
t_new = t - fp / fpp;

fprintf('迭代 %2d: t = %.8f, f''(t) = %.2e, f''''(t) = %.2e\n', ...
iter, t, fp, fpp);

% 更新 t
t = t_new;
end

fprintf('警告：未在 %d 次迭代内收敛。\n最后的 t = %.8f, |f''(t)| = %.2e\n', ...
max_iter, t, abs(fp));
end

% 定义目标函数 f(t)
% 注意：我们是在找 f'(t)=0 的点（极值点）
function y = f(t)
% 示例函数：f(t) = t^3 - 3*t^2 + 2*t + 1
% 其导数 f'(t) = 3t^2 - 6t + 2
% 解 f'(t)=0 → t = 1±√(1/3) ≈ 1±0.577
y = t^3 - 3*t^2 + 2*t + 1;
end