贝尔曼方程 计算过程 强化学习
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这25%哪里来的
图中提到的 25% 是指在强化学习中的 Gridworld 环境里，智能体（agent）在执行某个动作时，每个方向（上、下、左、右）移动的概率是 25%。这个设定通常用于描述 动作的不确定性 或 随机性。
详细解释：
在该 Gridworld 示例中：
- 智能体可以执行“向上、向下、向左、向右”四个动作。
- 但环境具有 随机性：即使你命令智能体“向上走”，它也可能以一定概率向其他方向偏移。
- 图中右边的箭头表示：无论你选择哪个动作，智能体有 25% 的概率朝任意一个方向移动（即上下左右各 25%）。
这说明：
动作执行具有随机性，且每个方向的概率相等（均匀分布），因此每个方向的概率是：
14=25%41=25%
为什么这样设计？
这是为了模拟现实世界中 控制不精确 的情况，比如机器人在滑动地面上行走，可能无法完全按指令行动。这种模型被称为 stochastic transition model（随机转移模型）。
补充说明：
- 图中左侧的格子 A、B、C、D 是状态（state）。
- 箭头和 +0 / +5 表示奖励（reward）。
- γ = 0.7 是 折扣因子（discount factor），表示未来奖励的重要性逐渐降低。
- 右边的 25% 是关于 动作执行的不确定性，不是来自奖励或折扣。
✅ 所以，25% 来自于：智能体执行动作时，每个方向（上/下/左/右）的移动概率为 25%，即动作是随机的、均匀分布在四个方向上的。
说人话就是
a的状态价值=随机走右概率0.25*右的直接结果5+未来价值衰减倍数0.7*未来b状态的价值 加其他几个动作
gridworld和国际象棋的状态哪里不同
这是一个非常好的问题！Gridworld 和 国际象棋（Chess） 虽然都可以被建模为强化学习中的 马尔可夫决策过程（MDP），但它们的“状态”在 数量、复杂度、表示方式和可解性 上有本质区别。
我们来从多个角度对比它们的状态有何不同：
✅ 1. 状态空间的大小（State Space Size）
| 项目 | Gridworld | 国际象棋 |
|---|---|---|
| 状态数量 | 很小（例如 4×4=16 个格子） | 极其巨大（约 10451045 种合法状态） |
| 是否能枚举所有状态 | ✅ 可以，比如 A、B、C、D | ❌ 几乎不可能列出所有状态 |
🔹 解释：
- 在一个简单的 4×4 Gridworld 中，智能体只能在 16 个格子中移动，状态就是
(行, 列)坐标，比如(0,0)、(0,1)……总共最多几十种状态。 - 而国际象棋棋盘是 8×8，有 32 个棋子，每个棋子有不同的类型和位置，还要考虑王车易位、吃过路兵、连续50步无吃子等规则，导致合法状态数量高达 10451045 级别。
📌 想象一下：如果你要为每个状态写一个方程来求解最优策略，Gridworld 只需要解十几个方程；而国际象棋要解 10451045 个方程 —— 这比宇宙中的原子数量还多！
✅ 2. 状态的表示方式（State Representation）
| 项目 | Gridworld | 国际象棋 |
|---|---|---|
| 表示方法 | 坐标 (x, y) 或编号 | 棋盘矩阵（8×8），每个格子记录棋子类型和颜色 |
| 复杂度 | 简单 | 复杂 |
🔹 例子：
- Gridworld 状态：
(2, 3)表示智能体在第2行第3列。 - 国际象棋状态：需要一个 8×8 的数组，每个元素可能是
空、K（白王）、q（黑后）、N（白马）等，并且还要额外记录全局状态（如是否能王车易位、吃过路兵机会等）。
所以国际象棋的状态是一个高维结构化数据，而 Gridworld 的状态只是一个低维坐标。
✅ 3. 状态转移的确定性 vs 随机性
| 项目 | Gridworld | 国际象棋 |
|---|---|---|
| 动作结果是否确定 | 有时是随机的（如本图中每个方向25%概率） | 完全确定（除非引入噪声） |
🔹 解释：
- 在你提供的图片中，Gridworld 是随机环境：你按“上”，但有 25% 概率往任意方向走 —— 这叫 stochastic transition。
- 而国际象棋是确定性游戏：你移动马到某个位置，结果是唯一的，没有随机偏移。
但这不意味着国际象棋更简单 —— 正是因为它太复杂，才需要用搜索树（如 Alpha-Beta 剪枝）或深度网络（如 AlphaZero）来近似价值函数。
✅ 4. 能否直接求解？
| 项目 | Gridworld | 国际象棋 |
|---|---|---|
| 能否用线性方程求解？ | ✅ 可以（小规模 MDP） | ❌ 不可能 |
| 是否适合用动态规划？ | ✅ 适合 | ❌ 必须用近似方法 |
🔹 原因：
- Gridworld 可以用贝尔曼方程建立线性系统，直接求解每个状态的价值。
- 国际象棋的状态太多，只能使用：
- 值函数近似（如神经网络）
- 蒙特卡洛树搜索（MCTS）
- 策略梯度方法
✅ 5. 奖励结构的差异
| 项目 | Gridworld | 国际象棋 |
|---|---|---|
| 奖励来源 | 到达某个格子得 +5，其他 +0 | 只有胜负平局（+1, -1, 0），中间奖励稀疏 |
🔹 说明：
- Gridworld 的奖励是密集的（dense reward）：每一步都可能获得奖励。
- 国际象棋的奖励是稀疏的（sparse reward）：只有游戏结束才知道谁赢，中间很难判断“这步好不好”。
这使得国际象棋的学习更加困难，需要长期信用分配（credit assignment）。
✅ 总结：Gridworld vs 国际象棋的状态区别
| 维度 | Gridworld | 国际象棋 |
|---|---|---|
| 状态数量 | 少（几十到几百） | 极多（~10451045） |
| 状态表示 | 坐标 (x,y) | 8×8 棋盘 + 全局状态 |
| 状态可枚举性 | ✅ 可以列出所有状态 | ❌ 不可能穷举 |
| 状态转移 | 可能随机（stochastic） | 确定性（deterministic） |
| 是否可直接求解 | ✅ 可以用方程求解 | ❌ 必须用近似/学习方法 |
| 奖励密度 | 密集（每步都有奖励） | 稀疏（只在胜负时） |
| 学习难度 | 低（教学用） | 高（需要深度学习） |
💡 类比理解：
- Gridworld 就像小学数学题：已知几个数，列方程就能解。
- 国际象棋就像博士级科研问题：你甚至不知道所有变量是什么，只能靠经验（训练）去逼近答案。
所以，你说的“状态哪里不同”，本质上是：
一个是“玩具环境”（toy environment），用于教学和测试算法； 另一个是“真实复杂世界”的抽象，需要最先进的 AI 技术才能应对。
这也是为什么强化学习从 Gridworld 开始，最终目标却是征服像国际象棋、围棋这样的复杂游戏。