我爱学算法之—— 分治-快排

一、颜色分类

题目解析

这道题，给定一个数组nums，其中只存在0、1和2（红色、白色、蓝色）；我们要将该数组分类，并按照颜色(红色、白色、蓝色）进行排序，简单来说就是将整个数组排序。

算法思路

对这道题，题目要求不使用库内置的sort，我们就可以自己实现一种排序（快排），将数组排序后返回。（红色、白色、蓝色；也就是0、1、2）。

这道题除了实现排序，我们还可以利用指针进行数组划分。思路类似我爱学算法之 —— 感受双指针带来的快感（上）中**移动0**这道题。

在移动0中，是使用双指针进行数组划分，将数组划分成两个区域（遍历过程中是三个区域）

而在这道题中，我们要将数组划分成三个区域：0、1、2。我们可以使用三指针来进行数组划分。

所以，在遍历数组过程中，就会将数组划分成四个区域：

搞懂了数组划分，那就只需搞清楚遍历过程中，遇到0、1、2，分别应该做什么操作即可。

遍历数组，遍历到i位置

• nums[i] = 0：将该数据放入[0 , left]区域中，swap(nums[++left], nums[i++])。（left+1位置肯定是要么是1，要么就是i下标，交换left+1和i下标对应的元素；然后i++，0区域多了一个元素，left++）
• nums[i] = 1：将数据放到[left+1 , i]区域中，i++。
• nums[i] = 2：将数据放到[right , n-1]区域中，swap(nums[--right], nums[i])。（right-1位置属于区域[i , right-1]，是未处理数据，所以交换之后不能让i++；而区域[right , n-1]中多了有数据，right--）

当i遍历到right位置时，数组nums中只存在三个区域（0、1、2），遍历结束。

初始化：

初始状态下，left等于-1，right等于n。

代码实现

class Solution {
public:void sortColors(vector<int>& nums) {int left = -1, right = nums.size();int i = 0;while (i < right) {if (nums[i] == 0)swap(nums[++left], nums[i++]);else if (nums[i] == 1)i++;elseswap(nums[--right], nums[i]);}}
};

二、排序数组

题目解析

这道题，就是一个排序数组，题目要求不使用内置函数，时间复杂度为O(n * logn)，很显然就是快速排序了。

算法思路

对于快速排序，这里就不详细介绍了，可以参考博主之前文章【排序算法（二）】——冒泡排序、快速排序和归并排序—＞深层解析

这里就以挖坑法来实现快速排序：

挖坑法：

• 以最左边元素为基准值，坑位pit
• 从右往左，找<基准值的，找到后将该值放到坑位，并更新坑位。
• 从左往右，找>基准值的，找到后将该值放到坑位，并更新坑位。

遍历结束，将基准值填入坑位位置；这样坑位左侧的值都是<基准值的，坑位右侧的值都是>基准值的；

然后对左侧区间和右侧区间分别进行快速排序。

对于挖坑法实现的快速排序（这道题是可以通过的），这里可以对其进行优化：

优化一：

对于基准值的选择，可以使用随机选择（每次随机从[left , right]中选取一个值作为基准值）。

优化二：

对于快速排序，右边找小，左边找大，这个过程，对于等于基准值这种情况，要么是放到右侧、要么是放在左侧；这样如果数组中所有元素都相同，这种情况快速排序的时间复杂度就是O(n^2)。

我们可以整个过程（Partition）进行优化，将数组划分成三个区域（小于基准值、等于基准值、大于基准值）。

这样如果数组中所有元素都相同时，只需一次递归遍历。

而对于数组划分，可上述颜色分类一样，无非就是遍历过程中判断元素和基准值的大小关系。

代码实现

class Solution {
public:void qsort(vector<int>& nums, int l, int r) {if (l >= r)return;// 随机选择基准值int key = nums[l + rand() % (r - l + 1)];// partitionint left = l - 1, right = r + 1;int i = l;while (i < right) {if (nums[i] < key)swap(nums[++left], nums[i++]);else if (nums[i] == key)i++;elseswap(nums[--right], nums[i]);}// 对<key区间 >key区间进行快速排序qsort(nums, l, left);qsort(nums, right, r);}vector<int> sortArray(vector<int>& nums) {srand(time(NULL));qsort(nums, 0, nums.size() - 1);return nums;}
};

三、数组中的第K个最大元素

题目解析

这道题要求找出数组中第k个最大的元素，典型的TOPK问题。

算法思路

思路一：

对于这道题，找出第k个最大的元素，肯定是可以使用优先级队列（堆）解决的。

建立小堆，遍历数组nums，维持堆中数据个数为k；

最终堆顶元素就是第k个最大的元素。

时间复杂度：O(n * logk)

思路二：

这里题目要求我们实现时间复杂度为O(n)的算法，而使用优先级队列解决TopK问题时间复杂度为O(n * logk)。

快速选择排序：

在上述排序数组题目中，我们使用数组划分来代替快速排序的partition，将数组划分成了三部分。

< key的区间长度为a、= key的区间长度为b、> key的区间长度为c。

• 如果c >=k，那第k个最大的元素肯定在> key区间中。

对> key区间继续进行快速选择排序即可。（在>key区间中，找第k个最大的元素）

• 如果b + c >= k，那第k个最大的元素一定就是key（区间[left+1 , right-1]是=key的）
• 如果b + c < k，那第k个最大的元素一定在< key的区间中。

对< key区间继续进行快速选择排序即可。（在< key区间中，找第k-b-c个最大的元素）

代码实现

class Solution {
public:void qsort(vector<int>& nums, int l, int r) {if (l >= r)return;int key = nums[l + rand() % (r - l + 1)];int left = l - 1, right = r + 1;int i = l;while (i < right) {if (nums[i] < key)swap(nums[++left], nums[i++]);else if (nums[i] == key)i++;elseswap(nums[--right], nums[i]);}qsort(nums, l, left);qsort(nums, right, r);}vector<int> inventoryManagement(vector<int>& stock, int cnt) {srand(time(NULL));qsort(stock, 0, stock.size() - 1);vector<int> ret(cnt, 0);for (int i = 0; i < cnt; i++)ret[i] = stock[i];return ret;}
};

四、库存管理 III

题目解析

这道题就非常简单了，给定一个数组stock和一个整数cnt，要求我们返回一个数组，这个数组中存储的是stock中最小的cnt个数。

算法思路

这道题相对就简单很多了，这道题也算是一直TopK问题。

思路一：

解决TopK问题，创建大堆，维持堆中个数为cnt，最后将堆中元素转化成数组vector返回即可。

思路二：

将数组排序（快速排序），然后将数组前cnt个元素组成一个新的数组，然后返回。

代码实现

这里就实现将数组排序，然后将前cnt个元素组成新的数组。

class Solution {
public:void qsort(vector<int>& nums, int l, int r) {if (l >= r)return;int key = nums[l + rand() % (r - l + 1)];int left = l - 1, right = r + 1;int i = l;while (i < right) {if (nums[i] < key)swap(nums[++left], nums[i++]);else if (nums[i] == key)i++;elseswap(nums[--right], nums[i]);}qsort(nums, l, left);qsort(nums, right, r);}vector<int> inventoryManagement(vector<int>& stock, int cnt) {srand(time(NULL));qsort(stock, 0, stock.size() - 1);vector<int> ret(cnt);for (int i = 0; i < cnt; i++)ret[i] = stock[i];return ret;}
};

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