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机器人、具身智能的起步——线性系统理论|【二】状态空间方程的解

news 2025/10/3 5:39:21

线性系统理论二：状态空间方程的解

1. 问题背景：为什么要研究这个？

线性系统可以用两种模型描述：

连续时间（CT）: $x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \quad y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)$
离散时间（DT）: $\quad y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)$

其中 $x (t)$ 是状态， $u (t)$ 是输入， $y (t)$ 是输出。 $A (t), B (t), C (t), D (t)$ 是随时间变化的系数矩阵（因此叫“时变”）。

对于离散系统，解可以很容易地递归计算出来（知道 $x (0)$ 就能算出 $x (1)$ , 然后 $x (2)$ …）。但对于连续系统，我们需要一套数学工具来求出其解析解，这就是本讲的重点。

2. 理论基础：微分方程解的存在与唯一性

对于一个一般的非线性微分方程 $x˙=f(t,x),x(t0)=x0\dot{x} = f(t, x), \quad x(t_0) = x_0$ ，需要满足两个条件：

$f (t, x)$ 关于 $t$ 分段连续：允许系数矩阵有有限的、不连续的点（例如开关动作），但在大部分时间是连续的。
$f (t, x)$ 关于 $x$ 是 Lipschitz 连续的：存在一个函数 $L (t)$ ，使得对于任意状态 $x_1, x_2$ ，有 $x_1) - f(t, x_2)| \leq L(t) |x_1 - x_2|$ 。这保证了系统不会“发散得太快”，从而保证解唯一。

Assumption(Piecewise Continuity in t)
For each fixed x, the function $f(⋅,x):R+\D→Rnf(\cdot, x): R_{+}\backslash D\rightarrow R^{n}$ is continuous,
where $D$ is a set containing at most a finite number of possible discontinuity points in any closed and bounded interval of time,
and for any $τ∈D\tau\in D$ , $lim⁡t→τ−f(t,x)\lim_{t \rightarrow \tau^{-}} f(t, x)$ and $lim⁡t→τ+f(t,x)\lim_{t\rightarrow\tau^{+}} f(t, x)$ exist.

理解：
这个假设要求函数 $f (t, x)$ 在每个固定的状态 $x$ 下，关于时间 $t$ 是分段连续的。具体来说：

在整个时间轴 $R_{+}$ 上，除了一个集合 $D$ 中的点之外，函数是连续的。
集合 $D$ 中的点就是间断点，并且在任何有限的时间区间内，这样的间断点的数量是有限的。
对于每一个间断点 $τ\tau$ ，函数的左极限 $lim⁡t→τ−f(t,x)\lim_{t\rightarrow\tau^{-}} f(t, x)$ 和右极限 $lim⁡t→τ+f(t,x)\lim_{t\rightarrow\tau^{+}} f(t, x)$ 都必须存在（即间断类型只能是可去间断点或跳跃间断点，而非无穷间断点）。

这个条件是保证微分方程解存在性的一个重要前提。

Assumption(Lipschitz Continuity in x)
There is a piecewise continuous function $L(⋅):R+→R+L(\cdot): R_{+}\rightarrow R_{+}$ such that
$∥f(t,x1)−f(t,x2)∥≤L(t)∥x1−x2∥\|f(t, x_1) - f(t, x_2)\| \leq L(t)\|x_1 - x_2\|$
$a∥⋅∥{}^{\text{a}}\|\cdot\|$ denotes the norm of a vector. Here you can temporarily understand it as a measure of the"length" or"size" of a vector.

Remark
Theoretically, it can be proved that the Lipschitz continuity in x guarantees the existence of at most one solution.

理解
这个假设要求函数 $f (t, x)$ 在任意时刻 $t$ ，关于状态变量 $x$ 是Lipschitz连续的。具体来说：

存在一个分段连续的函数 $L (t)$ （称为Lipschitz常数函数），
使得对于任意两个状态向量 $x_1$ 和 $x_2$ ，函数值之差 $f(t, x_1) - f(t, x_2)\|$ 都能被这两个状态向量之差 $x_1 - x_2\|$ 的 $L (t)$ 倍所限制。
脚注 $a{}^{\text{a}}$ 说明 $∥⋅∥\|\cdot\|$ 是向量的范数，可以直观理解为向量“长度”或“大小”的度量。

核心思想与重要性：
这个条件像一个“速度限制器”。它保证了系统动态 $f (t, x)$ 的变化速度不会无限快，从而排除了系统状态在有限时间内跑向无穷远（即“爆炸”）或者出现分叉（即解不唯一）的可能性。即相当程度上让非线性系统具有较强的线性性质！

与Piecewise Continuity的关系：两者结合，共同保证了微分方程解的存在性和唯一性。
- Piecewise Continuity in t -> 解存在
- Lipschitz Continuity in x -> 解唯一
在线性系统中的应用：对于线性系统 $x˙=A(t)x+B(t)u(t)\dot{x} = A(t)x + B(t)u(t)$ ，可以证明其满足Lipschitz条件（例如，其Lipschitz常数函数 $L (t)$ 可以取为矩阵 $A (t)$ 的范数 $∥A(t)∥\|A(t)\|$ ）。这就是为什么PPT中紧接着就证明了线性时变系统的解是存在且唯一的。

结论：只要系统矩阵 $A (t), B (t), ...$ 和输入 $u (t)$ 是分段连续的，线性时变系统的解就是存在且唯一的。这为我们后续的求解提供了坚实的基础。

3. 连续时间LTV系统的求解

求解分为两步：先求没有输入的系统，再求有输入的系统。

a) 齐次系统（无输入）: $x˙(t)=A(t)x(t),x(t0)=x0\dot{x}(t) = A(t)x(t), \quad x(t_0) = x_0$

解的形式： $\Phi(t, t_0) x_0$
核心概念：状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM）- $Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)$
- 它是一个矩阵函数，描述了系统状态如何从初始时刻 $t_0$ “转移”到当前时刻 $t$ 。
- 如何求？ 理论上， $Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)$ 是下面这个矩阵微分方程的解：
  $ddtΦ(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=I\frac{d}{dt}\Phi(t, t_0) = A(t)\Phi(t, t_0), \quad \Phi(t_0, t_0) = I$ （单位矩阵）
- 性质：
  1. 微分方程：满足上述定义。
  2. 半群性质： $Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)\Phi(t, t_0) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)$ 。这意味着状态转移可以分步进行。
  3. 可逆性： $Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)$ 总是可逆的，且 $Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)$ 。这意味着线性连续系统是时间可逆的。

b) 非齐次系统（有输入）: $x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0)=x0\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \quad x(t_0) = x_0$

解的形式（非常重要！）：
$\underbrace{\Phi(t, t_0) x_0}_{\text{零输入响应}} + \underbrace{\int_{t_0}^{t} \Phi(t, \tau) B(\tau) u(\tau) d\tau}_{\text{零状态响应}}$
- 零输入响应：仅由初始状态 $x_0$ 引起的响应。输入为0。
- 零状态响应：仅由输入 $u (t)$ 引起的响应。初始状态为0。这是一个卷积积分，体现了输入的历史对整个系统当前状态的累积影响。
得到 $x (t)$ 后，输出 $y (t)$ 就很容易得到了： $y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t)$ 。

连续时间线性时变（CLTV）系统状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM）的性质。

对于CLTV系统状态转移矩阵 $Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)$ 的性质表述如下：

Properties of the CT state transition matrix $Φ(t,t0)\Phi(t,t_{0})$

(Matrix Differential Equation) For every $t0≥0,Φ(t,t0)t_{0}\geq 0,\Phi\left(t, t_{0}\right)$ is the unique solution to
$ddtΦ(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=I\frac{d}{dt}\Phi(t, t_0) = A(t)\Phi(t, t_0), \quad \Phi(t_0, t_0) = I$

For every fixed $t0≥0t_{0}\geq 0$ , the i th column of $Φ(t,t0)\Phi\left(t, t_{0}\right)$ is the unique solution to $x˙=A(t)x,x(t0)=ei,t∈R+\dot{x}=A(t) x, x\left(t_{0}\right)=e_{i}, t\in R_{+}$ , where $e_{i}$ is the i th column of I.

(Semigroup Property) $Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)\Phi(t, t_0) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)$

(Nonsingularity) $Φ(t1,t0)\Phi\left(t_{1}, t_{0}\right)$ is nonsingular and $Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)$

理解

我们可以将这些性质分为三类：定义性、结构性和独特性。

1. 定义性性质（它是什么？）

性质1: 矩阵微分方程

表述: $ddtΦ(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=I\frac{d}{dt}\Phi(t, t_0) = A(t)\Phi(t, t_0), \quad \Phi(t_0, t_0) = I$
理解: 这是状态转移矩阵的定义方式和最基本的属性。
- 它表明STM本身就是一个矩阵微分方程的解。这个方程和原齐次系统 $x˙=A(t)x\dot{x} = A(t)x$ 形式完全一致，只不过 $x$ 换成了矩阵 $Φ\Phi$ 。
- 初始条件 $Φ(t0,t0)=I\Phi(t_0, t_0) = I$ （单位矩阵）至关重要。它意味着“从 $t_0$ 时刻转移到 $t_0$ 时刻”的状态转移是自身，这符合直觉。

性质2: 列的含义

表述: 第 i 列是系统在初始状态为 $e_i$ （第 i 个标准基向量）时的解。
理解: 这个性质是性质1的直接推论，但它提供了更直观的视角。
- 它将一个复杂的矩阵函数分解为一系列简单的、有物理意义的列向量。
- 你可以将STM的每一列看作系统对某个“方向”上的初始脉冲的响应。整个STM就是所有这些基本响应的集合。

2. 结构性性质（它如何运作？）

性质3: 半群性质

表述: $Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)\Phi(t, t_0) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)$
理解: 这是最重要、最直观的性质之一。它描述了状态转移的可分性和复合性。
- 物理意义: 系统从 $t_0$ 时刻的状态 $x(t_0)$ 转移到 $t$ 时刻的状态 $x (t)$ ，可以分两步进行：
  1. 先从 $t_0$ 转移到某个中间时刻 $t_1$ ： $x(t1)=Φ(t1,t0)x(t0)x(t_1) = \Phi(t_1, t_0)x(t_0)$
  2. 再从 $t_1$ 转移到最终时刻 $t$ ： $\Phi(t, t_1)x(t_1) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)x(t_0)$
- 最终结果必须等于直接转移 $Φ(t,t0)x(t0)\Phi(t, t_0)x(t_0)$ 。因此， $Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)\Phi(t, t_0) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)$ 。
- 这类似于旅程中途径中转站，无论中途是否停留，总的位移变化是各段位移的累积。

3. 独特性性质（它有何特别之处？）

性质4: 非奇异性与可逆性

表述: $Φ(t1,t0)\Phi\left(t_{1}, t_{0}\right)$ 是非奇异的（即可逆），且其逆矩阵为 $Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)$ 。
理解: 这个性质是连续时间线性系统的一个关键特征，但离散时间系统通常不具备。
- 非奇异性意味着状态转移过程是“无损”的，没有丢失信息。你知道当前状态，就唯一地可以推算出过去的状态（在 $t_0$ 之后的所有时间）。
- 逆矩阵的表达式 $Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)$ 极具美感。它的物理意义是：“反向时间转移”就等于“正向时间转移”的逆运算。要把状态从 $t$ 时刻“倒回”到 $t_0$ 时刻，使用的转移矩阵正好是从 $t_0$ 到 $t$ 的转移矩阵的逆，而这个逆矩阵恰好等于从 $t$ 到 $t_0$ 的转移矩阵。
- 重要性: 这个性质是状态观测器、最优平滑滤波等理论的基础，因为这些理论都需要从当前输出回溯估计过去的状态。

总结与启示

性质	数学表述	核心理解	重要性
1. 矩阵微分方程	$ddtΦ=A(t)Φ,Φ(t0,t0)=I\frac{d}{dt}\Phi = A(t)\Phi, \quad \Phi(t_0, t_0)=I$	STM本身的定义和演化规律	理论基础，用于求解和推导
2. 列的含义	第i列是 $x˙=A(t)x\dot{x}=A(t)x$ 对 $e_i$ 的解	STM是系统对所有基本初始条件响应的集合	提供了构建和理解STM的视角
3. 半群性质	$Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)\Phi(t, t_0) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)$	状态转移过程在时间上可分解	理论分析和计算的关键工具
4. 非奇异性	$Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)$	连续时间线性系统是时间可逆的	是系统分析（如观测器设计）的重要基础

这些性质共同描绘了状态转移矩阵的完整画像：它是一个由系统矩阵 $A (t)$ 唯一决定的、描述系统状态自由演化规律的、具有可分性和时间可逆性的基本解矩阵。它是求解和分析线性系统的核心钥匙。

4. 离散时间LTV系统的求解

概念与连续时间系统非常类似，但用的是差分方程。

齐次系统： $\quad x(t_0) = x_0$
- 解： $\Phi(t, t_0) x_0$
- DT STM： $Φ(t,t0)=A(t−1)A(t−2)...A(t0)\Phi(t, t_0) = A(t-1)A(t-2)...A(t_0)$ （对于 $t > t_0$ ）
非齐次系统： $\quad x(t_0) = x_0$
- 解： $\Phi(t, t_0) x_0 + \sum_{\tau=t_0}^{t-1} \Phi(t, \tau+1) B(\tau) u(\tau)$
- 同样也是零输入响应 + 零状态响应（这里零状态响应是一个求和式）。

重要区别：离散时间系统的STM $Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)$ 不一定是可逆的（如果某个 $A (k)$ 是奇异矩阵），因此离散系统不一定是时间可逆的。

关于离散时间线性时变（DLTV）系统状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM）的性质，并与CLTV系统进行对比以加深理解。

对于DLTV系统状态转移矩阵 $Φ(k,k0)\Phi(k, k_0)$ 的性质表述如下：

Properties of the DT state transition matrix $Φ(k,k0)\Phi(k,k_{0})$

(Matrix Difference Equation) For every $Φ(k,k0)k_{0}\geq 0,\,\Phi(k,k_{0})$ is the unique solution to
$Φ(k+1,k0)=A(k)Φ(k,k0),Φ(k0,k0)=I\Phi(k+1, k_0) = A(k)\Phi(k, k_0), \quad \Phi(k_0, k_0) = I$

For every fixed $k0≥0k_{0}\geq 0$ , the i th column of $Φ(k,k0)\Phi\left(k, k_{0}\right)$ is the unique solution to $x\left(k_{0}\right)=e_{i}, k\in N, k\geq k_{0}$ , where $e_{i}$ is the ith column of I.

(Semigroup Property) $Φ(k,k0)=Φ(k,k1)Φ(k1,k0)\Phi(k, k_0) = \Phi(k, k_1)\Phi(k_1, k_0)$

Remark
The DT STM(k,k0) does NOT own the nonsingularity property, because A(k) might be singular for some $k≥k0k\geq k_{0}$ . This is a difference between CT STM and DT STM. In other words, DLTV systems is not time reversible in general.

理解

同样，我们可以将这些性质分为三类，并与CLTV系统进行对比。

1. 定义性性质（它是什么？）

性质1: 矩阵差分方程

表述: $Φ(k+1,k0)=A(k)Φ(k,k0),Φ(k0,k0)=I\Phi(k+1, k_0) = A(k)\Phi(k, k_0), \quad \Phi(k_0, k_0) = I$
理解: 这是离散系统状态转移矩阵的定义方式。
- 它不是一个微分方程，而是一个差分方程，这反映了离散系统的演化是“步进”的，而不是连续的。
- 初始条件 $Φ(k0,k0)=I\Phi(k_0, k_0) = I$ （单位矩阵）与连续系统一致，表示“从 $k_0$ 时刻转移到 $k_0$ 时刻”的状态转移是自身。
- 如何求解？ 这个差分方程的解是前向迭代的形式，即PPT中给出的：
  $Φ(k,k0)=A(k−1)A(k−2)⋯A(k0)\Phi(k, k_0) = A(k-1)A(k-2) \cdots A(k_0)$ （对于 $k > k_0$ ）
  这意味着STM是从 $k_0$ 到 $k - 1$ 时刻的所有系统矩阵 $A(⋅)A(\cdot)$ 的乘积。这个明确的表达式是离散系统比连续系统更容易处理的原因之一。

性质2: 列的含义

表述: 第 i 列是系统在初始状态为 $e_i$ （第 i 个标准基向量）时的解。
理解: 这个性质与连续系统完全一致。
- 它将矩阵函数分解为有物理意义的列向量。STM的每一列代表了系统对某个“方向”上的初始脉冲的响应。整个STM就是所有这些基本响应的集合。

2. 结构性性质（它如何运作？）

性质3: 半群性质

表述: $Φ(k,k0)=Φ(k,k1)Φ(k1,k0)\Phi(k, k_0) = \Phi(k, k_1)\Phi(k_1, k_0)$
理解: 这个性质在形式上和物理意义上与连续系统完全相同。它描述了状态转移的可分性。
- 物理意义: 系统从 $k_0$ 时刻的状态 $x(k_0)$ 转移到 $k$ 时刻的状态 $x (k)$ ，可以经由中间时刻 $k_1$ 分两步进行。总的转移矩阵等于两个阶段转移矩阵的乘积。
- 这个性质是状态估计、系统分析和迭代计算的基础。

3. 独特性性质（与CLTV的关键区别）

性质4: 奇异性与不可逆性（缺失的性质）

表述: DT STM does NOT own the nonsingularity property… DLTV systems is not time reversible in general. （DT STM不具有非奇异性…DLTV系统通常是时间不可逆的。）
理解: 这是离散时间系统与连续时间系统的一个最根本、最重要的区别。
- 原因: 从STM的表达式 $Φ(k,k0)=A(k−1)A(k−2)⋯A(k0)\Phi(k, k_0) = A(k-1)A(k-2) \cdots A(k_0)$ 可以看出，如果在 $k_0$ 到 $k - 1$ 的任何一个时刻，系统矩阵 $A (m)$ 是奇异矩阵（即不可逆，行列式为0），那么整个乘积 $Φ(k,k0)\Phi(k, k_0)$ 也必然是奇异矩阵。
- 后果: 一旦 $Φ(k,k0)\Phi(k, k_0)$ 是奇异的，它就不可逆。这意味着无法从当前状态 $x (k)$ 唯一地回溯到过去的状态 $x(k_0)$ 。系统丢失了部分状态信息，这个过程是不可逆的。
- 对比: 连续时间LTV系统的STM总是可逆的，因此总是可以回溯历史。离散时间系统的这个特性使得其分析在某些方面更复杂。

总结与对比

性质	DLTV表述	CLTV对比	核心理解
1. 定义方程	差分方程: $Φ(k+1,k0)=A(k)Φ(k,k0)\Phi(k+1, k_0) = A(k)\Phi(k, k_0)$	微分方程: $ddtΦ=A(t)Φ\frac{d}{dt}\Phi = A(t)\Phi$	DLTV是迭代乘积，CLTV是矩阵微分方程的解。
2. 列的含义	第i列是 $x (k + 1) = A (k) x$ 对 $e_i$ 的解	相同	物理意义一致，都是系统对基本初始条件的响应集合。
3. 半群性质	$Φ(k,k0)=Φ(k,k1)Φ(k1,k0)\Phi(k, k_0) = \Phi(k, k_1)\Phi(k_1, k_0)$	相同	物理意义一致，状态转移在时间上可分解。
4. 非奇异性	通常不成立	总是成立 $Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)$	最关键区别。DLTV因为 $A (k)$ 可能奇异而不可逆（时间不可逆），CLTV总是可逆（时间可逆）。

启示

DLTV系统状态转移矩阵的性质揭示了其与CLTV系统的深刻区别：

可求解性: DLTV的STM有明确的迭代计算公式（矩阵连乘），而CLTV的STM通常没有解析解。
可逆性: CLTV系统总是可逆的，可以回溯历史；而DLTV系统不一定可逆，只要在演化过程中经历过一次“信息丢失”（ $A (k)$ 奇异），就无法唯一地回溯过去。这个特性在设计观测器和分析系统历史状态时需要格外注意。

5. 要点总结与启示

核心工具：求解线性系统的关键是找到状态转移矩阵 (STM) $Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)$ 。
解的结构：全响应 = 零输入响应 + 零状态响应。这是一个普适的线性系统特性。
连续 vs. 离散：连续系统用微分方程和积分，离散系统用差分方程和求和。概念高度对应。
时变的困难：对于一般的时变系统，很难（甚至不可能）找到STM $Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)$ 的解析表达式。这引出了后续课程的内容：对于线性时不变系统（LTI），即 $A, B, C, D$ 是常数矩阵的情况，我们有非常成熟的方法（如拉普拉斯变换）来求解。LTI系统是LTV系统的一个特例，也是工程中最常见、最重要的一类系统。