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一、时间复杂度（Time Complexity）

时间复杂度是衡量算法执行效率的核心指标，它描述的是算法执行时间随输入规模增长的变化趋势，而非具体执行时间（不受硬件、编程语言影响）。通常用大O符号（O()）表示，只保留对增长趋势起主导作用的最高阶项，忽略常数系数和低阶项。

1. 核心分析原则

• 只看最高阶项：例如 3n² + 5n + 2 简化为 O(n²)
• 忽略常数系数：例如 5n 简化为 O(n)
• 与输入数据分布无关：只关注最坏情况或平均情况（默认分析最坏情况）
• 操作单元定义：通常将基本操作（如赋值、比较、算术运算）视为O(1)时间单元

2. 常见时间复杂度及实例

（1）O(1) - 常数时间

• 特点：执行时间不随输入规模变化，始终为固定值。
• 场景：基本运算（加减乘除）、数组随机访问、哈希表查找等。
• 详细分析：即使存在多个O(1)操作，只要不随n变化，整体仍为O(1)

// 示例1：数组随机访问（底层是连续内存地址计算）
int getElement(int arr[], int index) {return arr[index];  // 计算地址偏移量是固定时间操作
}// 示例2：哈希表查找（理想情况下通过哈希函数直接定位）
unordered_map<string, int> dict = {{"apple", 1}, {"banana", 2}};
int val = dict["apple"];  // 哈希计算+桶访问是O(1)

（2）O(n) - 线性时间

• 特点：执行时间与输入规模n成正比，n翻倍时时间也翻倍。
• 场景：单循环遍历、线性查找等。
• 边界情况：循环中可能包含break提前终止，但最坏情况仍按O(n)计算

// 示例1：查找最大值（必须完整遍历）
int findMax(vector<int>& arr) {int max_val = INT_MIN;for (int num : arr) {  // 必须比较所有n个元素if (num > max_val) max_val = num;}return max_val;
}// 示例2：线性搜索（可能提前终止但仍计为O(n)）
int linearSearch(vector<int>& arr, int target) {for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {if (arr[i] == target) return i;  // 最好情况O(1)，但最坏情况O(n)}return -1;
}

（3）O(logn) - 对数时间

• 特点：执行时间随n的对数增长（通常以2为底），n翻倍时时间只增加1。
• 核心逻辑：每次操作将问题规模缩小一半（如二分法）。
• 数学原理：对数复杂度源于递归式T(n) = T(n/2) + O(1)

// 示例1：二分查找（有序数组）
int binarySearch(vector<int>& arr, int target) {int left = 0, right = arr.size() - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;  // 防止溢出if (arr[mid] == target) return mid;else if (arr[mid] < target) left = mid + 1;  // 舍弃左半else right = mid - 1;  // 舍弃右半}return -1;  // 最多执行log₂n次循环
}// 示例2：求幂运算（快速幂算法）
double power(double x, int n) {if (n == 0) return 1;double half = power(x, n/2);  // 递归规模减半return (n%2 == 0) ? half*half : half*half*x;
}

（4）O(nlogn) - 线性对数时间

• 特点：执行时间是n乘以logn，比O(n)慢，但比O(n²)快。
• 场景：高效排序算法（归并排序、快速排序、堆排序等）。
• 数学推导：常见于分治算法，递归树有logn层，每层处理O(n)操作

// 示例1：快速排序（平均情况）
void quickSort(vector<int>& arr, int low, int high) {if (low < high) {int pivot = partition(arr, low, high);  // O(n)分区操作quickSort(arr, low, pivot-1);   // 递归处理左半部分quickSort(arr, pivot+1, high);  // 递归处理右半部分// 递归深度平均为logn，每层总操作O(n)}
}// 示例2：堆排序（建堆O(n)，每次pop O(logn)）
void heapSort(vector<int>& arr) {priority_queue<int> max_heap(arr.begin(), arr.end());for (int i = arr.size()-1; i >= 0; i--) {arr[i] = max_heap.top();  // 每次取最大O(logn)max_heap.pop();           // 共执行n次}
}

（5）O(n²) - 平方时间

• 特点：执行时间与n的平方成正比，n翻倍时时间变为4倍。
• 场景：双层嵌套循环（如冒泡排序、插入排序）。
• 优化方向：可通过剪枝或记忆化减少实际计算次数

// 示例1：选择排序（每次选择最小值）
void selectionSort(vector<int>& arr) {for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {       // n次int min_idx = i;for (int j = i+1; j < arr.size(); j++) { // 每次n-i次if (arr[j] < arr[min_idx]) min_idx = j;}swap(arr[i], arr[min_idx]);  // 总计约n²/2次比较}
}// 示例2：矩阵乘法（三重循环）
vector<vector<int>> matrixMultiply(vector<vector<int>>& A, vector<vector<int>>& B) {int n = A.size();vector<vector<int>> C(n, vector<int>(n));for (int i = 0; i < n; i++) {         // n次for (int j = 0; j < n; j++) {     // n次for (int k = 0; k < n; k++) { // n次C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];  // 总计n³次运算}}}return C;
}

3. 复杂度对比（增长速度）

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!)

• 前4种：适用于大规模数据处理（如排序算法、搜索算法）
• 中间2种：适用于中小规模数据（如动态规划问题）
• 后2种：仅适用于极小规模（如全排列问题）

二、空间复杂度（Space Complexity）

空间复杂度是衡量算法内存消耗的指标，描述算法所需存储空间随输入规模增长的变化趋势，同样用大O符号表示，关注额外空间（不包括输入数据本身）。

1. 常见空间复杂度及实例

（1）O(1) - 常数空间

• 特点：额外空间不随输入规模变化，始终为固定值。
• 注意事项：递归算法的调用栈不计入此类别

// 示例1：斐波那契数列迭代计算
int fib(int n) {if (n <= 1) return n;int a = 0, b = 1, c;  // 固定3个变量for (int i = 2; i <= n; i++) {c = a + b;a = b;b = c;}return b;  // 空间始终为O(1)
}// 示例2：原地数组操作
void squareArray(vector<int>& arr) {for (int& num : arr) {num = num * num;  // 不创建新数组}
}

（2）O(n) - 线性空间

• 特点：额外空间与输入规模n成正比。
• 常见场景：需要复制输入数据或维护线性数据结构

// 示例1：递归斐波那契（调用栈深度n）
int fibRecursive(int n) {if (n <= 1) return n;return fibRecursive(n-1) + fibRecursive(n-2);  // 递归树深度n
}  // 实际空间O(n)而非O(2ⁿ)，因为同时只有一条路径在内存中// 示例2：广度优先搜索（队列存储节点）
void BFS(Node* root) {queue<Node*> q;          // 最坏存储所有节点q.push(root);while (!q.empty()) {Node* cur = q.front();q.pop();for (Node* child : cur->children) {q.push(child);  // 队列最大可能存储O(n)节点}}
}

（3）O(logn) - 对数空间

• 特点：额外空间随n的对数增长，常见于递归调用。
• 数学原理：递归深度与问题规模的缩小速度相关

// 示例1：快速排序递归栈（理想划分）
void quickSort(vector<int>& arr, int low, int high) {if (low < high) {int pivot = partition(arr, low, high);quickSort(arr, low, pivot-1);   // 递归左半quickSort(arr, pivot+1, high);  // 递归右半}  // 递归深度平均O(logn)，最坏O(n)（当划分不平衡时）
}// 示例2：树的遍历（平衡二叉树）
void inorder(TreeNode* root) {if (!root) return;inorder(root->left);   // 递归左子树cout << root->val;     // 当前节点处理inorder(root->right);  // 递归右子树
}  // 栈深度=树高度，平衡树时为O(logn)

（4）O(n²) - 平方空间

• 特点：额外空间与n的平方成正比，常见于二维数据结构。
• 优化策略：考虑稀疏矩阵存储或动态计算

// 示例1：动态规划表（如最长公共子序列）
int LCS(string& s1, string& s2) {vector<vector<int>> dp(s1.size()+1, vector<int>(s2.size()+1));  // (m+1)×(n+1)表格// ...填充dp表...return dp.back().back();
}// 示例2：图的邻接矩阵
class Graph {vector<vector<int>> adjMatrix;  // |V|×|V|矩阵
public:Graph(int n) : adjMatrix(n, vector<int>(n)) {}void addEdge(int u, int v) { adjMatrix[u][v] = 1; }
};

三、总结

维度	核心意义	关注重点	典型场景	优化策略
时间复杂度	算法执行效率随n的增长趋势	循环次数、递归深度	遍历（O(n)）、二分（O(logn)）	分治法、剪枝、记忆化
空间复杂度	算法内存消耗随n的增长趋势	额外变量、数组、递归栈	数组复制（O(n)）、原地操作（O(1)）	复用空间、惰性计算

工程实践建议：

1. 空间换时间：使用哈希表（O(n)空间）将查找时间从O(n)降到O(1)
2. 时间换空间：流式处理大数据时，用多次扫描（O(n)时间）避免存储全部数据（O(1)空间）
3. 递归改进：将O(n)空间递归（如斐波那契）改为迭代实现（O(1)空间）
4. 数据结构选择：根据操作频率选择，如频繁查询用哈希表，频繁插入删除用链表