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树状数组的原理和简单实现：一种使用倍增优化并支持在线 O(log N) 修改、查询的数据结构

news 2025/10/2 11:28:30

一、概述

考虑这样一种问题：

现有一个由 $N$ 个整数组成的数列 $A$ ，满足 $∀1≤i≤n,ai∈[−109,109]\forall 1 \le i \le n, \space a_i \in [-10^9, 10^9]$ 。
接下来你要进行 $Q$ 次操作，单次操作有两种类型：

$\space l \space r \space x$ ，表示 $∀i∈[l,r],ai←ai+x\forall i \in [l,r], a_i \leftarrow a_i+x$ ；
$\space l \space r$ ，你应该输出 $∑i=lrai\displaystyle\sum_{i=l}^{r}{a_i}$ 。

对于每个 $2$ 类操作，输出其答案。

如果使用暴力算法求解，则直接进行操作，复杂度为 $O(N^2)$ 。如果我们可以使用树状数组（Fenwick Tree）求解，则时间复杂度可以降低至 $\log N)$ 。

二、 lowbit 函数的定义和原理

1. 定义

$lowbit(x)\mathrm{\bold{lowbit}}(x)$ 函数是指由一个数 $x$ 在二进制下最后一个 $1$ 以及后面的 $0$ 组成的数。例如， $lowbit(24)=8,lowbit(16)=16\mathrm{lowbit}(24)=8, \space \mathrm{lowbit}(16)=16$ 。

2. 性质及求法

使用 $lowbit\mathrm{lowbit}$ 函数可以遍历二进制下一个整数 $x$ 的每一个 $1$ 。例如，我们对 $15=(1111)_2$ 进行操作，每一次减少它的 $lowbit\mathrm{lowbit}$ ，则它的变化如下：
$\rightarrow 14 \rightarrow 12 \rightarrow 8 \rightarrow 0$
C++代码如下：

inline void lowbit(int x)
{for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) // lowbit(i) 的实现将在后面介绍{// do something}
}

下面介绍 $lowbit\mathrm{lowbit}$ 函数的求法。
我们可以运用计算机二进制补码的性质，补码即反码加上一，由于反码的每一位都和原码不同，故补码中的最后一个 $1$ 与原码中的最后一个 $1$ 重合。因此， 补码 & 原码 的操作就可以实现求 lowbit ，时间复杂度为 $O (1)$ 。
实现方法如下：

#define lowbit(x) x & (-x)     // -x    ： x 的补码
#define lowbit(x) x & (~x + 1) // ~x + 1： x 的反码加一（补码）

例如：二进制下 $14$ 的 $lowbit\mathrm{lowbit}$ 求法：
$14=(1110)2−14=(111⋯0010)2⇒14&(−14)=(10)2=2\begin{align*} 14&=(1110)_2 \\ -14&=(111 \cdots 0010)_2 \\ \Rightarrow 14\space \&\space (-14) &= (10)_2=2 \end{align*}$
经验证，结果正确。

3. 应用

因为二进制的 $lowbit\mathrm{lowbit}$ 函数具有较强的位处理特性，所以常被用来处理与二进制有关的问题，例如在状态压缩 DP 中， $lowbit\mathrm{lowbit}$ 函数可以减少不必要的计算，直接提取每一个有效位数，减少时间复杂度； $lowbit\mathrm{lowbit}$ 函数还可以用来解决一些倍增问题，将问题的时间复杂度从 $≥O(n)\ge O(n)$ 量级优化为 $O(log⁡n)O(\log n)$ 量级。

接下来， $lowbit\mathrm{lowbit}$ 函数将会被广泛地使用于树状数组中，解决各类问题。

三、树状数组的单点修改和区间查询

1. 树状数组的实现原理

树状数组既不是树，也不是数组，是一种特殊的数据结构。树状数组的一个节点 $c_x$ 保存序列 $A$ 的区间 $\mathrm{lowbit}(x)+1,x]$ 内所有元素的总和，即 $cx=∑i=x−lowbit(x)+1xaic_x= \displaystyle\sum_{i=x - \mathrm{lowbit}(x)+1}^{x}{a_i}$ 。通过一次保存一个 $lowbit\mathrm{lowbit}$ 之内所有的数值，我们可以实现缩小查找需要的时间。树状数组的示例图如下：
在这里插入图片描述
若记一个节点 $x$ 的子节点的集合为 $s (x)$ ，树状数组满足以下几个性质：

$cx=∑y∈s(x)yc_x=\displaystyle\sum_{y \in s(x)}{y}$
$∣s(x)∣=log⁡2lowbit(x)|s(x)|=\log_2\mathrm{lowbit}(x)$
$c_x$ 的父节点是 $cx+lowbit(x)c_{x+\mathrm{lowbit}(x)}$
树的深度 $≤O(log⁡n)\le O(\log n)$ 。

2. 树状数组的插入操作

要给一个数增加一个特定的值，则这个数的位置之后的前缀和也会相应的增加这个值。根据这个原理以及树状数组的性质 2,3，我们可以使用 $lowbit\mathrm{lowbit}$ 函数定义树状数组的插入操作：

inline void add(int x, int v)
{for (; x <= N; x += lowbit(x))tr[x] += v;
}

3. 树状数组的求和操作

由树状数组的性质 1，知要求 $∑i=1nai\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i$ 的时候，只需要遍历每一个 $lowbit(n)\mathrm{lowbit}(n)$ 即可。

inline int query(int x)
{int res = 0;for (; x; x -= lowbit(x))res += tr[x];return res;
}

4. 完整代码实现

#define lowbit(x) x & (-x)
template <class _Tp>
class FenwickTree
{
private:int tr[N];public:inline void add(int x, _Tp v){for (; x <= N; x += lowbit(x))tr[x] += v;}inline _Tp query(int x){_Tp res = 0;for (; x; x -= lowbit(x))res += tr[x];return res;}
}