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数字信号处理第一章（离散时间信号与系统）【上】

news 2025/10/2 9:56:45

参考教程：https://www.bilibili.com/video/BV1qTCDYpEFr?spm_id_from=333.788.videopod.sections&vd_source=8f8a7bd7765d52551c498d7eaed8acd5

一、概述

1、信号的分类

（1）按照维度可划分为：

①一维信号——如音频信号。

②二维信号——如图像信号。

③多维矢量信号。

（2）按照是否能确定可划分为：

①确定性信号：若信号在任意时刻的取值能精确确定，则称它为确定性信号，它的值可以用有限个参量来唯一地加以描述，如直流信号、阶跃信号、正弦波信号等都是确定信号。

②随机信号：若信号不能用有限的参量来唯一描述在任意时刻的取值，或者说取值是随机的，而且也无法对它的未来值确定性地预测，则称它为随机信号，随机信号一般是通过统计学的方法来描述的。

（3）按照连续性可划分为：

①连续时间信号：随时间连续变化的信号，它们在一个区间例的任何瞬间都有确定的值。

②离散时间信号：只在离散的时间点有确定的值，通常是对连续信号进行采样得到的。

③数字信号：时间上离散、幅度上量化后的信号，它可用一系列的数表示，而每个数又可表示为二进制码的形式。

2、信号处理系统的基本组成

信号处理系统的基本组成如下图所示，其中数字信号处理的主要特点是——精度高、灵活性高、可靠性高。

3、数字信号处理的学科概貌

（1）信号的采集（A/D）技术、采样定理、量化噪声分析。

（2）离散信号的分析——时域及频域分析、各种变换技术、信号特征的描述等。

（3）离散系统分析——系统的描述、系统的单位取样响应、系统函数及频率特性。

（4）信号处理中的快速算法——快速傅里叶变换、快速卷积与相关。

（5）信号的估值——各种估值理论、相关函数与功率谱估计。

（6）滤波技术——经典数字滤波器设计、现代数字滤波器设计。

（7）信号的建模——AR、MA、ARMA模型。

（8）信号处理中的特殊算法——如抽取、插值、反卷积、信号重建。

（9）信号处理技术的实现——软件实现、硬件实现。

二、离散时间信号——序列

1、离散时间信号的由来

（1）离散时间信号（又称序列）是连续时间信号以时间T等间隔采样得到的，T称为采样周期或采样间隔。

（2）连续的信号对计算机而言数据量是无穷大的，计算机只能处理离散的数据，所以需要对连续的信号进行离散化，以便计算机处理。

（3）采样间隔T（或者说采样频率）的选取与信号变化快慢有关，一般需要遵守 $f_{s}\geq 2f_{n}$ ，其中 $f_{s}$ 为采样频率， $f_{n}$ 为带限信号的最高频率分量。

2、离散时间信号的表达

（1）一般来说，采样间隔是均匀的，可以用x(nT)表示信号在nT点上的值，n为整数。

（2）由于x(nT)顺序地存放在计算机存储器中，为了表示方便，通常用x(n)表示离散时间信号的序列值，只要明确采样间隔T的值，就可以直接用n作为数据索引方便计算机处理。

3、离散时间信号的表示方法

（1）用数列表示离散时间信号：

用大括号将数列中的元素括起，逗号将各元素分隔，即可表示离散时间信号，一般默认数列首元素对应 $n=0$ 处的采样值，也可以用下划线将对应 $n=0$ 处的采样值特别标识

（2）用函数表示离散时间信号：

离散信号同样可以用函数表示，只是不同的是，离散函数中n只能取整数，而连续函数则是可以在其定义域内任意选取

（3）用图形表示离散时间信号：

既然连续函数可以用图形表示，那么离散函数自然也可以，如下图所示，图中横坐标n表示离散的时间坐标，仅在n为整数时才有意义，纵坐标代表信号的值

绘图时需注意，必须标明横坐标和纵坐标的label，注明原点的位置，注明每个时间坐标下的信号值

（4）用单位抽样序列表示离散时间信号：

4、离散时间信号的基本运算

（1）序列的和：

两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的新序列

（2）序列的积：

两序列的积是指同序号n的序列值逐项对应相乘而构成的新序列

（3）序列的移位：

设有一序列x(n)，当m＞0时，x(n-m)表示序列x(n)逐项依次右移m位后得到的序列，x(n+m)表示序列x(n)逐项依次左移m位后得到的序列

要想确认人算的移位后序列是否无误，可直接用原数列的信号值进行验证

需要说明的是，延时单元可以将以前的某采样时刻的数据暂存奇力，参与这个时刻的运算，比如回声可以用延迟单元来生成，直接声音和它延迟了R个周期的单个回声求和即可生成（ $\alpha$ 为回声的衰减系数，值域为(0,1)），即 $y(n)=x(n)+\alpha x(n-R)$ ，当然，增加项数可以生成多重回声

（4）序列的反褶：

设有一序列x(n)，则x(-n)是以n=0位纵轴将x(n)反褶后的序列

谨记，对序列的移位和反褶，都是施加在n上的，与n已经有的偏移或系数无关

（5）累加和：

（6）差分运算：

（7）序列的时间尺度（比例）变化：

设有一序列x(n)，则其时间尺度变换序列为x(mn)或x(n/m)，m为正整数

x(mn)为抽取序列，求解的过程又叫下采样；x(n/m)为插值序列，求解的过程又叫上采样

（8）序列的能量：

（9）序列的平均功率：

5、MATLAB下序列运算的实现方法

（1）例程：用MATLAB产生并画出单位抽样序列 $\delta (n)$ 。

%确定位置向量（横坐标）的显示范围
n = -10:20;%确定与位置向量（横坐标）匹配的δ(n)（纵坐标），用全零矩阵生成非1点即可
delta = [zeros(1,10) 1 zeros(1,20)];%画出δ(n)
stem(n, delta);%图中显示网格
grid on;%增加坐标标识和图名
xlabel('Time index n');  ylabel('Amplitude');
title('Unit Sample Sequence');%调整坐标显示范围
axis([-10 20 0 1.2]);

（2）例程：定义函数生成单位抽样序列 $\delta (n-n_{p})$ 。

function [x,n] = impesq(np,ns,nf)	%np为位移量，ns为n的取值下限，nf为n的取值上限%检查输入参数正确性
if ( (np < ns) | (np > nf) | (ns > nf) )
error('参数必须满足 ns <= np <= nf')
end%生成序列横坐标n
n = [ns:nf];%生成序列纵坐标x
x = [ (n-np) == 0];

（3）例程：定义函数实现序列相加 $y(n)=x_{1}(n_{1})+x_{2}(n_{2})$ 。

function [y,n] = seqadd(x1,n1,x2,n2)	%参数分别为序列纵坐标集和序列横坐标集%确定相加后序列的横坐标集（原序列的横坐标集不一定相同，新序列的横坐标集需要将两个原序列的横坐标集全部包含）
n = min(min(n1), min(n2) ) : max(max(n1), max(n2) );%按照得到的横坐标集创建两个等长新序列
y1 = zeros(1, length(n) );
y2 = zeros(1, length(n) );%将两个原序列分别放在两个新序列中，横坐标要与新序列对应
y1(find( (n >= min(n1) ) & (n <= max(n1) ) ) ) = x1;
y2(find( (n >= min(n1) ) & (n <= max(n1) ) ) ) = x2;%两个调整好位置的等长新序列相加，得到原序列相加结果
y = y1 + y2;

（4）例程：定义函数实现序列相乘 $y(n)=x_{1}(n_{1})\cdot x_{2}(n_{2})$ 。

function [y,n] = seqmult(x1,n1,x2,n2)	%参数分别为序列纵坐标集和序列横坐标集%确定相乘后序列的横坐标集（原序列的横坐标集不一定相同，新序列的横坐标集需要将两个原序列的横坐标集全部包含）
n = min(min(n1), min(n2) ) : max(max(n1), max(n2) );%按照得到的横坐标集创建两个等长新序列
y1 = zeros(1, length(n) );
y2 = zeros(1, length(n) );%将两个原序列分别放在两个新序列中，横坐标要与新序列对应
y1(find( (n >= min(n1) ) & (n <= max(n1) ) ) ) = x1;
y2(find( (n >= min(n1) ) & (n <= max(n1) ) ) ) = x2;%两个调整好位置的等长新序列相乘，得到原序列相乘结果，注意需要使用点乘，否则MATLAB会执行矩阵运算
y = y1 .* y2;

（5）例程：定义函数实现序列移位 $y(n)=x(n-m)$ 。

function [y,ny] = seqshift(x,nx,m)	%参数分别原序列纵坐标集、原序列横坐标集和位移量%对横坐标集每个元素全部加m，得到新序列的横坐标集
ny = nx + m;%新序列的纵坐标集与原序列相比无变化
y = x;

（6）例程：定义函数实现序列反褶 $y(n)=x(-n)$ 。

function [y,ny] = seqfold(x,n)	%参数分别原序列纵坐标集、原序列横坐标集%对原序列纵坐标集做逆转，赋给新序列纵坐标集
y =fliplr(x);%对原序列横坐标集做逆转，修改正负号使逆转序列递增，再赋给新序列横坐标集
ny = -fliplr(n);

6、几种常用的典型序列

（1）单位抽样序列 $\delta (n)$ ：

（2）单位阶跃序列 $u (n)$ ：

（3）矩形序列 $R_{N}(n)$ ：

（4）实指数序列：

（5）正弦序列：

（6）复指数序列：

7、序列的周期性

三、离散时间系统

1、离散系统的线性性质

（1）线性系统是满足叠加原理的系统：

①可加性：

②比例性（齐次性）：

（2）结合上面的描述，线性系统 $T[\cdot ]$ 应满足

（3）线性系统必须满足零输入产生零输出，当然，如果某个系统满足零输入产生零输出，它也不一定是线性系统，需要进一步验证它是否满足叠加定理。

（4）举例：

2、离散系统的移不变性质

3、LSI系统的时域求解——线性卷积方法

%定义信号
nx = [0:1];	x = [1 2];
nh = [0:2];	h = [3 2 1];%卷积计算
y = conv(x, h);
ny = [0:3];%画图
subplot(311);						stem(nx,x,'linewidth',2);
axis([min(ny) max(ny) 0 max(y)]);		grid on;
subplot(312);						stem(nh,h,'linewidth',2);
axis([min(ny) max(ny) 0 max(y)]);		grid on;
subplot(313);						stem(ny,y,'linewidth',2);
axis([min(ny) max(ny) 0 max(y)]);		grid on;