数学笔记①

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文章目录

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1. 积分与微分

•  对$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$,若$f(x)$有有限个第一类间断点，则$F(x)$连续，但在$f(x)$的第一类间断点处连续不可导
• $$\{\begin{array}{l}dy=f^{\prime }(x)\Delta x\\ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(\xi )\Delta x，x<\xi <x+\Delta x\end{array}$$

1.1 二重积分

• 若被积区间关于$y=x$ 对称，则可以考虑轮换对称法
• 若被积函数存在根号下可以凑成完全平方公式，且凑出之后可以通过变量代换化为易求出来的

1.2 可导和连续

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2. 相似、等价、合同

• A与 B 相似 ===> A与 B 合同 ===> A 与 B 等价 ===> A 与 B 秩相等

• $$A与B相似\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda 相同\\ tr(A)=tr(B)\\ r(A)=r(B)\\ \left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}B\end{array}\right|\end{array}$$

• $$A与B合同\Rightarrow \{\begin{array}{l}r(A)=r(B)\\ 正负惯性指数相同(也是充分)\end{array}$$
  $存在可逆矩阵C使(B=C^{T}AC)$

• $$A与B等价\Rightarrow \{\begin{array}{l}只有A、B为是对称矩阵才可以\\ r(A)\ne r(B)一定不合同\\ 正负惯性指数相同\end{array}$$