二项式定理——力扣2221.数组的三角和

力扣2221.数组的三角和

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【LeetCode 2221】数组的三角和 —— 题解与思路详解

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums，其中 nums[i] 是 0 到 9 之间的一个数字。

定义数组的三角和计算规则如下：

1. 如果数组长度 n == 1，则直接返回该元素。

2. 否则，生成一个新的数组 newNums，它的长度为 n - 1。
   对于每个下标 i（0 ≤ i < n - 1），计算：

   newNums[i] = (nums[i] + nums[i+1]) % 10
   

   然后用 newNums 替换 nums。

3. 重复以上步骤，直到数组只剩下一个元素。

4. 返回这个唯一的元素。

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示例 1

输入: nums = [1,2,3,4,5]
输出: 8

计算过程：

[1,2,3,4,5]
[3,5,7,9]
[8,2,6]
[0,8]
[8]

最终结果为 8。

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示例 2

输入: nums = [5]
输出: 5

数组只有一个元素，直接返回 5。

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题目限制

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] <= 9

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思路分析

这道题的本质是不断将数组压缩，每次计算相邻两数之和的个位数，直到只剩下一个数。

常见的两种解法如下：

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解法一：模拟法（直观解）

最直接的思路就是模拟题目描述的步骤：

1. 不断生成新数组 newNums。
2. 每次长度减少 1，直到只剩下一个数。

时间复杂度

• 每次操作长度减少 1，总共有 n-1 轮操作。
• 第 1 轮长度 n，第 2 轮长度 n-1，… 最后一轮长度 1。
• 总操作次数为 n + (n-1) + ... + 1 = O(n^2)。

空间复杂度

• 可以原地修改，不需要新数组，O(1)。

代码（Java 示例）：

class Solution {public int triangularSum(int[] nums) {int n = nums.length;while (n > 1) {for (int i = 0; i < n - 1; i++) {nums[i] = (nums[i] + nums[i + 1]) % 10;}n--; // 数组长度减少 1}return nums[0];}
}

解释：
每次只需要覆盖前 n-1 个元素，不用额外开新数组。最终结果就是 nums[0]。

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解法二：数学优化（组合数 + 二项式定理）

仔细观察会发现这个过程其实和杨辉三角（组合数）类似。

举例 nums = [1,2,3,4,5]：

          1      2      3      4      5\    / \    / \    / \    /3      5      7      9\    / \    / \    /8      2      6\    / \    /0      8\    /8

最终结果可以表示为：

sum(nums[i] * C(n-1, i)) % 10

其中 C(n-1, i) 是组合数。

计算示例：

nums = [1,2,3,4,5], n=5
结果 = 1*C(4,0) + 2*C(4,1) + 3*C(4,2) + 4*C(4,3) + 5*C(4,4)= 1*1 + 2*4 + 3*6 + 4*4 + 5*1= 1 + 8 + 18 + 16 + 5= 48
48 % 10 = 8

和模拟结果一致。

这种方法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。

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总结

• 模拟法：代码简单直观，时间复杂度 O(n^2)。在 n <= 1000 的范围内可接受。
• 数学优化：利用组合数公式，将最终结果转化为加权和，时间复杂度 O(n)。更高效。

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最终代码（推荐：模拟法，简单好写）

class Solution {public int triangularSum(int[] nums) {int n = nums.length;while (n > 1) {for (int i = 0; i < n - 1; i++) {nums[i] = (nums[i] + nums[i + 1]) % 10;}n--;}return nums[0];}
}

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扩展思考

• 如果数组长度非常大，例如 10^6 以上，模拟法会超时。这时必须用组合数公式。
• 本题和杨辉三角密切相关，以后遇到类似“逐层相加”的问题，可以优先考虑组合数规律。

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