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[信号与系统个人笔记]第三章连续时间信号与系统的频域分析 Part 4

news 2025/9/30 7:34:10

2025.8.31
- 3.1 连续时间周期信号的傅里叶级数
2025.9.1
- 3.2 连续时间周期信号的频谱分析
2025.9.2
- 3.3 连续时间信号的傅里叶变换 part1
2025.9.3
- 3.3 连续时间信号的傅里叶变换 part2
2025.9.9
- 3.4 傅里叶变换的性质 I
2025.9.14
- 3.4 傅里叶变换的性质 ll
2025.9.18
- 3.4 傅里叶变换的性质 III
- 3.4* 信号的能量谱与功率谱
2025.9.29
- 3.5 周期信号的傅里叶变换
- 3.6 抽样定理

3.5 周期信号的傅里叶变换

一般周期信号的傅里叶变换

周期为 $T$ 的周期信号可以展开为指数形式的傅里叶级数：
$\begin{align} &f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_{n}e^{jn\Omega t},\Omega=\frac{2\pi}{T}\\ \\ &\mathcal{F}[f_{T}(t)]=\mathcal{F}\left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_{n}e^{jn\Omega t} \right] \end{align}$
而 $F_{n}$ 与 $t$ 无关，因此：
$\begin{align} &\mathcal{F}[f_{T}(t)]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_{n}\mathcal{F}[e^{jn\Omega t}]\\ \\ &而1\leftrightarrow 2\pi \delta(\omega)\\ \\ &\implies e^{jn\Omega}\leftrightarrow 2\pi \delta(\omega-n\Omega) \end{align}$
一般周期信号的傅里叶变换：
$\begin{align} &\mathcal{F}[f_{t}(t)]=2\pi \sum_{nm=-\infty }^{+\infty}F_{n}\delta(\omega-n\Omega),\Omega= \frac{2\pi}{T} \end{align}$

周期信号的频谱密度由冲激序列组成
冲激位置： $ω=nΩ\omega=n\Omega$ ，谐波频率处
冲激强度： $2πFn2\pi F_{n}$ 由傅里叶系数确定

例

求周期冲激序列 $δT(t)=∑n=−∞+∞δ(t−nT)\delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)$ 的傅里叶变换
$\begin{align} &F_{n}= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\delta_{T}(t)e^{-jn\Omega t}dt=\frac{1}{T}[e^{-jn\Omega t}]\bigg|_{t=0}=\frac{1}{T}\\ \\ &而f_{T}(t)\leftrightarrow 2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT) \\ \\ &\delta_{T}(t)\leftrightarrow 2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_{n}\delta(\omega-n\Omega)= \frac{2\pi}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\Omega)=\Omega \delta_{\Omega}(\omega) \end{align}$
结论：
$\delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT) \leftrightarrow \Omega \sum_{n=-\infty }^{+\infty}\delta(\omega-n\Omega)=\Omega \delta_{\Omega}(\omega),\Omega=\frac{2\pi}{T}$

周期信号傅里叶系数与傅里叶变化的关系

任意周期为 $T$ 的周期信号 $f_{T}(t)$ 可以表示为第一个周期内的脉冲信号 $f_{0}(t)$ 和周期冲激序列卷积的结果
$\begin{align} &f_{t}(t)=f_{0}(t)*\delta_{T}(t)=f_{0}(t)*\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)\\ \\ &F(j\omega)=F_{0}(j\omega)\cdot \Omega \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\Omega)=\Omega \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\Omega)\\ \\ &=\Omega \sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_{0}(jm\Omega)\delta(\omega-n\Omega)\\ \\ &而F(j\omega)=2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_{n}\delta(\omega-n\Omega)\\ \\ &\implies 2\pi F_{n}=\Omega F_{0}(jn\Omega)\implies F_{n}=\frac{1}{T}F_{0}(jn\Omega)=\frac{1}{T}F_{0}(j\omega)\bigg|_{\omega=n\Omega} \end{align}$

求解周期信号傅里叶变换的方法

$\begin{align} &\mathcal{F}[f_{T}(t)]=2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_{n}\delta(\omega-n\Omega),\Omega=\frac{2\pi}{T}\\ \\ &F_{n}=\frac{1}{T}F_{0}(jn\Omega)=\frac{1}{T}F_{0}(j\omega)\bigg|_{\omega=n\Omega} \end{align}$

找周期信号在第一个周期内的单体 $f_{0}(t)$
求 $f_{0}(t)$ 对应的傅里叶变换 $F0(jω)F_{0}(j\omega)$
周期信号的傅里叶系数为 $Fn=1TF0(jnΩ)=1TF0(jω)∣ω=nΩF_{n}=\frac{1}{T}F_{0}(jn\Omega)=\frac{1}{T}F_{0}(j\omega)\bigg|_{\omega=n\Omega}$
周期信号的傅里叶变换 $F[fT(t)]=2π∑n=−∞+∞Fnδ(ω−nΩ),Ω=2πT\mathcal{F}[f_{T}(t)]=2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_{n}\delta(\omega-n\Omega),\Omega=\frac{2\pi}{T}$

例

已知周期举行脉冲信号如图所示，求此信号的傅里叶变换与指数形式的傅里叶级数
$\begin{align} &f_{0}(t)=g_{2}(t),\ T=3,\ \Omega=\frac{2\pi}{T}= \frac{2\pi}{3}\\ \\ &f_{0}(t)\leftrightarrow 2Sa(\omega)=F_{0}(j\omega)\\ \\ &F_{n}=\frac{1}{T}F_{0}(j\omega)\bigg|_{\omega=n\Omega}=\frac{2}{3}Sa\left( \frac{2\pi}{3}n \right)\\ \\ &\therefore \mathcal{F}[f_{T}(t)]=2\pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_{n}\delta(\omega- n\Omega)\\ \\ &=\frac{4\pi}{3}\sum_{n=-\infty}^{{+\infty}}Sa\left( \frac{2\pi}{3}n \right)\cdot \delta\left( \omega-\frac{2\pi}{3}n \right)\\ \\ &\therefore f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_{n}e^{jn\Omega t}=\frac{2}{3}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa\left( \frac{2\pi}{3}n \right)e^{j \frac{2\pi}{3}nt} \end{align}$

注意 $f_{0}(t)$ 的定义域不一定要从原点开始取
将周期函数展开为傅里叶级数多了一种新思路：求基波信号的傅里叶变换，再求原函数的傅里叶级数系数，从而得到傅里叶级数

3.6 抽样定理

理想抽样及其信号的频谱

抽样的概念

抽样可以将模拟信号转化为一系列事件离散的样值信号。实际中多采用均匀抽样，抽样间隔 $T_{s}$ 即为抽样周期， $fs=1Tf_{s}=\frac{1}{T}$ 称为抽样频率
$f_{s}(t)=f(t)\cdot s(t)$

理想抽样信号及其频谱

$\begin{align} 冲激脉冲序列:s(t)&=\delta_{T_{s}}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_{s})\\ \\ 理想抽样信号:f_{s}(t)&=f(t)\cdot \delta_{T}(t)=f(t)\cdot \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_{s})\\ \\ &=\sum_{n=-\infty} ^{+\infty}f(nT_{s})\delta(t-nT_{s})\end{align}$

理想抽样信号由一个个冲激信号组成

$\begin{align} s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_{s})\leftrightarrow S(j\omega)&=\Omega_{s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\Omega_{s}),\Omega_{s}=\frac{2\pi}{T_{s}}\\ \\ f_{s}(t)=f(t)\cdot s(t)\leftrightarrow F_{s}(j\omega)&=\frac{1}{2\pi}F(j\omega)*S(j\omega)\\ \\ &=\frac{1}{2\pi}F(j\omega)*\Omega_{s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\Omega_{s})\\ \\ &=\frac{1}{T_{s}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F[j(\omega-n\Omega_{s})] \end{align}$
结论：
$F_{s}(j\omega)=\frac{1}{T_{s}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F[j(\omega-n\Omega_{s})]$

$Fs(jω)F_{s}(j\omega)$ 为信号频谱 $F(jω)F(j\omega)$ 以 $Ωs\Omega_{s}$ 为周期延拓
频谱幅度变为原先的 $1T\frac{1}{T}$

理想抽样信号及其频谱示意图：

$fs≥2fmf_{s}\geq 2f_{m}$ 时，各个频谱之间无混叠，可以分离出原信号的频谱
- 由抽样序列 ${ f(nT_{s}) \}$ 可以无失真地恢复出 $f (t)$
$f_{s}<2f_{m}$ 时，频谱之间产生混叠，无法分离出原信号的频谱
- 由 ${ f(nT_{s}) \}$ 不能无失真地恢复 $f (t)$
其中 $ωm\omega_{m}$ 为原式连续信号的最高角频率，代表频谱的有效带宽

例

当 $f_{s}<2f_{m}$ 时，频谱图像会存在重叠

矩形抽样及其信号的频谱

矩形抽样的定义：
抽样脉冲为矩形脉冲，此时抽样信号的脉冲顶部随着原信号 $f (t)$ 变化，这样的抽样称为矩形抽样

矩形抽样的频谱：
设矩形脉冲脉宽为 $τ\tau$ ，周期为 $T$
$\begin{align} s(t)&=g_{\tau}(t)*\delta_{T}(t)\\ \\ S(j\omega)&=\tau Sa\left( \frac{\omega \tau}{2} \right)\cdot \frac{2\pi}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\omega_{s})=\frac{2\pi \tau}{T_{s}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa\left( \frac{n\omega_{s}\tau}{2} \right)\delta(\omega-n\omega_{s})\\ \\ 而f_{s}(t)&=f(t)\cdot s(t)\\ \\ 则F_{s}(j\omega)&=\frac{1}{2\pi}F(j\omega)*S(j\omega)=\frac{\tau}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa\left( \frac{n\omega_{s}\tau}{2} \right)F[j(\omega-n\omega_{s})] \end{align}$
结论：
$F_{s}(j\omega)=\frac{\tau}{T_{s}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa\left( \frac{n\omega_{s}\tau}{2} \right)F[j(\omega-n\omega_{s})]$

$Fs(jω)F_{s}(j\omega)$ 为 $S a$ 函数加权，包络满足 $S a$ 函数的变化规律

当 $fs≥2fmf_{s}\geq2 f_{m}$ 时，同样可以通过低通滤波器来还原出原信号

理想抽样与矩形抽样的异同点

相同点：

均为无穷多个间隔为 $ωs\omega_{s}$ 的 $F(jω)F(j\omega)$ 叠加而成的
抽样频率满足要求时，均可以通过低通滤波器恢复原信号

不同点：

矩形理想抽样信号频谱被常数加权，带宽无穷大
矩形抽样信号频谱被 $S a$ 函数加权，最终收敛于0，第一过零点带宽为 $Bω=2πτ(rad/s)B_{\omega}=\frac{2\pi}{\tau}(rad/s)$ 或 $Bf=1τ(Hz)B_{f}=\frac{1}{\tau}(Hz)$

$提高传输速度\xLeftrightarrow{矛盾}压缩传输带宽$

时域抽样定理

$fs≥2fmf_{s}\geq{2}f_{m}$ 时，各个频谱之间没有混叠，可以分离出原信号的频谱
$f_{s}<2f_{m}$ 时，频谱之间产生混叠，无法分离出原信号的频谱

定理：
一个频带限制在 $0,f_{m})$ 内的低通信号 $f (t)$ ，如果以 $fs≥2fmf_{s}\geq2 f_{m}$ 的速率进行均匀抽样，则由抽样序列 ${ f(nT_{s}) \}$ 可以无失真恢复出 $f (t)$
$\begin{align} &奈奎斯特抽样速率:f_{s}=2f_{m}\implies最小抽样速率\\ \\ &奈奎斯特抽样间隔:T_{s}=\frac{1}{2f_{m}}\implies最大抽样间隔 \end{align}$
在工程中，若信号不是频带有限信号，则往往通过截止频率 $f_{m}$ 的低通滤波器让其频带有限，称为抗混叠滤波

例

若信号 $f_{1}(t)$ 和 $f_{2}(t)$ 的最高角频率分别为 $3π×105rad/s3\pi \times 10^{5}rad/s$ 和 $2π×105rad/s2\pi \times 10^5rad/s$ ，试求下列信号进行时域抽样时的奈奎斯特抽样频率
1） $f1(12t)f_{1}\left( \frac{1}{2}t \right)$
$\begin{align} &f_{1}=\frac{\omega_{1m}}{2\pi}=1.5\times 10^{5}Hz,f_{2}=\frac{\omega_{2m}}{2\pi}=10^{5}Hz\\ \\ &f_{1}\left( \frac{1}{2}t \right)\leftrightarrow 2F_{1}(j\cdot 2\omega)\xrightarrow{拉伸} f_{m}=\frac{1}{2}f_{1}=7.5\times 10^{4}Hz\\ \\ &\implies f_{s}=2f_{m}=1.5\times 10^{5}Hz \end{align}$

角频率有两种单位 $r a d, Hz$ ，其中 $r a d$ 单位除以 $2π2\pi$ 后可以转换成 $Hz$

2） $f_{2}^{3}(t)$
$\begin{align} &f_{2}^{3}(t)\leftrightarrow \frac{1}{(2\pi)^{2}}[F_{2}(j\omega)*F_{2}(j\omega)*F_{2}(j\omega)]\\ \\ &\implies f_{m}=3f_{2}=3\times 10^{5}Hz\\ \\ &\implies f_{s}=2f_{m}=6\times 10^{5}Hz \end{align}$

利用卷积积分的定义域叠加性质：
- 若 $f (t)$ 定义域为 $t_{1},t_{2}]$ ， $g (t)$ 的定义域为 $t_{3},t_{4}]$
- 则 $f (t) * g (t)$ 定义域为 $t_{1}+t_{3},t_{2}+t_{4}]$
三次自卷积后，最高角频率扩大三倍

3） $f1(t)⋅f2(t)f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)$
$\begin{align} &f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_{1}(j\omega)*F_{2}(j\omega)\\ \\ &f_{m}=f_{1}+f_{2}=2.5\times 10^{5}Hz\\ \\ &\implies f_{s}=2f_{m}=5\times 10^{5}Hz \end{align}$
4) $f_{1}(t)*f_{2}(2t)$
$\begin{align} &f_{1}(t)*f_{2}(2t)\leftrightarrow F_{1}(j\omega)\cdot \frac{1}{2}F_{2}\left( \frac{1}{2}j\omega \right)\\ \\ &f_{m}=min\{ f_{1},2f_{2} \}=f_{1}=3\times 10^{5}Hz \end{align}$

两个信号做乘法，新信号的最高角频率为两个原信号最高角频率中的最小值

5） $f_{1}(t)+f_{2}(2t)$
$\begin{align} &f_{1}(t)+f_{2}(2t)\leftrightarrow F_{1}(j\omega)+\frac{1}{2}F_{2}\left( \frac{1}{2}j\omega \right)\\ \\ &\implies f_{m}=max\{ f_{1},2f_{2} \}=2\times 10^{5}Hz \end{align}$

两个信号做加法，新信号的最高角频率为两个原信号的最高角频率中的最大值

注意 $F(j⋅ωα)F\left( j\cdot \frac{\omega}{\alpha} \right)$ 所对应的最高角频率为 $∣α∣ω|\alpha|\omega$

时域原信号的恢复

利用低通滤波器来恢复原信号
$\begin{align} H(j\omega)&=\begin{cases} T_{s},\quad |\omega|\leq \omega_{c}\\ \\ 0,\quad |\omega|>\omega_{c} \end{cases}\\ \\ &=T_{s}\cdot g_{2\omega _{c}}(\omega) \end{align}$
截止频率需要满足：
$\omega_{m}\leq \omega_{c}\le \omega_{s}-\omega_{m}$

恰好卡在最大角频率与下一个周期开始的位置之间

例

带限信号 $f (t)$ 的最高频率为 $300 Hz$ ，若对 $y(t)=12[f(t3)∗f(2t)]⋅f(t)y(t)=\frac{1}{2}\left[ f\left( \frac{t}{3} \right)*f(2t) \right]\cdot f(t)$ 以 $T_{s}=1ms$ 进行抽样，低通滤波器的截止频率 $f_{c}$ 应该满足什么范围？
$\begin{align} &若f(t)\sim f_{m}\\ \\ &则f\left( \frac{t}{3} \right)\sim \frac{f_{m}}{3}\ ,\ f(2t)\sim 2f_{m}\\ \\ &f\left( \frac{t}{3} \right)*f(2t)\leftrightarrow F\left( \frac{t}{3} \right)\cdot F(2t)\sim min\left\{ \frac{f_{m}}{3},2f_{m} \right\}=\frac{f_{m}}{3}\\ \\ &\left[ f\left( \frac{t}{3} \right)*f(2t) \right]\cdot f(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}\left[ F\left( \frac{t}{3} \right)\cdot F(2t) \right]*F(t)\sim \frac{f_{m}}{3}+f_{m}\\ \\ &\therefore y(t)\sim f_{m}'=\frac{4}{3}f_{m}\\ \\ &f'_{m}\leq f_{c}\leq f_{s}-f_{m}' \end{align}$

内插公式

假设 $fs=2fm,ωc=ωmf_{s}=2f_{m},\omega_{c}=\omega_{m}$ ：
$\begin{align} &F(j\omega)=F(j\omega)\cdot H(j\omega)\leftrightarrow f(t)=f_{s}(t)*h(t)\\ \\ &H(j\omega)=\begin{cases} T_{s}\quad |\omega|\leq \omega_{m}\\ \\ 0\quad | \omega|>\omega_{m} \end{cases}=T_{s}g_{2\omega_{m}}(\omega)\leftrightarrow h(t)=T_{s} \frac{\sin \omega_{m}t}{\pi t}=Sa(\omega_{m}t)\\ \\ \implies f(t)&=f_{s}(t)*h(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(nT_{s})\delta(t-nT_{s})*Sa(\omega_{m}t)\\ \\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(nT_{s})Sa[\omega_{m}(t-nT_{s})] \end{align}$