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news 2025/9/30 7:31:13

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1. 引言

在图论中，广度优先搜索（BFS）是一种用于遍历或搜索图的算法，特别适合求解无权图的最短路径问题。本文将结合邻接表存储方式和数组模拟队列的BFS实现，详细讲解如何计算图中点的层次（即节点到起点的最短距离）。

2. 问题描述

给定一个有向图（或无向图），要求从指定的起点（如节点1）出发，计算它到所有其他节点的最短距离（层次）。例如：

输入：

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4 5     // 4个节点，5条边
1 2     // 边1→2
2 3     // 边2→3
3 4     // 边3→4
1 3     // 边1→3
1 4     // 边1→4

输出：
- 节点1到节点2的距离：1
- 节点1到节点3的距离：1
- 节点1到节点4的距离：1

3. 邻接表存储图

（1）邻接表的结构

邻接表使用数组模拟链表的方式存储图，由三个数组组成：

h[a]：存储节点a的第一条边的索引（头指针）。
e[i]：存储第i条边的终点。
ne[i]：存储第i条边的下一条边的索引（链表结构）。

（2）邻接表构建过程

以输入样例为例：

初始化：
- h = [-1, -1, -1, -1]（节点1~4的头指针初始为-1）
- idx = 0（当前边的索引）
添加边：
- add(1, 2) → e[0]=2, ne[0]=-1, h[1]=0
- add(2, 3) → e[1]=3, ne[1]=-1, h[2]=1
- add(3, 4) → e[2]=4, ne[2]=-1, h[3]=2
- add(1, 3) → e[3]=3, ne[3]=0, h[1]=3
- add(1, 4) → e[4]=4, ne[4]=3, h[1]=4

最终邻接表：

节点	邻接链表（边的顺序）
1	1→4 → 1→3 → 1→2
2	2→3
3	3→4
4	(无出边)

4. BFS算法实现

（1）算法流程

初始化：
- 使用队列q存储待访问节点。
- vis数组记录节点距离，初始为-1（未访问）。
起点入队：
- q = [起点]，vis[起点] = 0。
循环处理队列：
- 取出队首节点u。
- 遍历u的所有邻接节点v：
  - 如果v未被访问（vis[v] == -1），则：
    - vis[v] = vis[u] + 1（更新距离）。
    - v入队。
  - 如果v是目标节点，可直接返回（优化）。

5.代码

/*数组模拟队列bfs,用于求解从节点1到节点n的最短路径自环：自己指向自己重边：两个点相互指向对方，形成一个环
*/#include <stdio.h>
#include <string.h>#define N 100010/*h数组：邻接表的头指针数组。h[i] 存储节点 i 的最后一条边的索引。-1 表示该节点没有邻接边。不断更新，使得以节点i为首的几条边中，其值是最新的边e数组：边的终点数组。e[i] 表示第 i 条边的终点。ne数组：下一条边的索引数组。ne[i] 表示与第 i 条边同起点的下一条边的索引。idx：当前边的索引。初始为0，每次添加边时递增。
*/
int h[N], e[N], ne[N], idx;// 向邻接表中添加一条从节点 a 到节点 b 的边
void add(int a, int b) {e[idx] = b;         // 记录边的终点为 bne[idx] = h[a];     // 新边的下一条边是 h[a] 当前指向的边h[a] = idx;         // 更新 h[a] 为新边的索引idx++;              // 更新边的索引计数器
}/*vis数组：记录节点的访问状态和距离。vis[i] 为 -1 表示节点 i 未被访问，否则表示从起点到节点 i  的最短距离。n：表示目标节点（终点）。q数组：数组模拟的队列，用于 BFS。hh：队列头指针（出队位置），初始为0。tt：队列尾指针（入队位置），初始为-1。
*/
int vis[N], n;
int q[N], hh, tt = -1;// 从起点 p 开始执行 BFS，计算到其他节点的最短距离
void bfs(int p) {// 初始化 vis 数组为 -1（未访问）memset(vis, -1, sizeof(vis));// 将起点 p 入队，并设置 vis[p] = 0 （距离为0）q[++tt] = p;         // 节点p入队, tt指针后移vis[p] = 0;          // 到起点p的距离为0// 循环处理队列while (hh <= tt) {// 取出队头节点 pp = q[hh++];    // hh指针后移，执行出队操作// 遍历 p 的所有邻接点for (int i = h[p]; i != -1; i = ne[i]) {int j = e[i];  // 邻接点为j// 如果邻接点 j 未被访问，则将其入队，并更新距离if (vis[j] == -1) {q[++tt] = j;         // 邻接点j入队vis[j] = vis[p] + 1;  // 到j的距离等于到p的距离 + 1// 如果 j 是目标节点 n，直接返回（提前终止，因为BFS保证了最短路径）if (j == n) return;}}}
}int main() {memset(h, -1, sizeof(h)); // 初始化邻接表头指针int m;scanf("%d%d", &n, &m); // 读入节点数n，边数m// 读入所有边while (m--) {int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);add(a, b);         // 添加从a到b的有向边}// 从节点1开始进行BFSbfs(1);// 输出从节点1到节点n的最短距离printf("%d\n", vis[n]); // 输出vis[n]return 0;
}

6. 示例分析

输入

BFS执行过程

初始状态：
- q = [1], vis = [0, -1, -1, -1]
处理节点1：
- 遍历边1→4、1→3、1→2。
- 更新vis = [0, 1, 1, 1]。
- 入队q = [1, 4, 3, 2]。
处理后续节点：
- 节点4、3、2均无新访问节点，队列清空。
最终结果：
- vis = [0, 1, 1, 1]（节点1到其他节点的距离均为1）。