辗转相除法（欧几里得算法）探微

引言

• 曾记否，我们刚刚开始学习编程语言的时候，无论是python，C语言还是其他的编程语言的时候，一定会遇到一道练习题，常常在课堂上或者老师布置的课后习题里遇到它，–> “求两个数的最大公约数” ，有很多方法。但我记得当时我匆匆的找了个最常见的辗转相除法就将它应付了，因为代码不长，写起来也快.现在回想起来，当时也只是浅尝辄止，并没有什么很深的理解，以至于现在你让我讲出什么玩意出来也是不行的。

• 最近，我又瞥见了它的身影，但是与之前不同的是，再次与它相见，我想这次我希望能够真正意义上的理解它。所以，我想写一篇文章来细细的谈谈这道“简单”的题目，对于辗转相除法，一个非常有趣的答案是：它同时具备 “极其简单” 和** “极其深刻” ** 两个特点。

• 站在使用者如程序员、普通学生的角度不难，它是一个高效、可靠、易于编码的工具。

• 对于学习者，理解其原理是初等数论中的一个重要门槛。它可能是你第一次接触到如何将一个直观的操作（除法）与一个抽象的概念（最大公约数）通过严密的逻辑连接起来。

所以，如果你想从原理层面理解它的话，可以来看一看这篇文章。（如果只是运用，可以找更简洁的其他优秀博主的文章）
当然，我也是站在学习者的角度来看的，如果有错误的地方欢迎指正。

一、最大公约数（GCD）

在深入原理前，需先清晰定义 GCD：对于两个整数 a和 b（不妨设 a>b≥0），它们的最大公约数 gcd(a,b) 是满足以下两个条件的整数 q
整除性：q∣a 且 q∣b（即 q 是 a 和 b的公共约数）；
最大性：对任意其他公共约数 q ′，都有q′ ∣q（即 q是所有公共约数中最大的）

• 例如，gcd(18,12)=6，因为 6 是能同时整除 18 和 12 的最大整数。

这里，可以转换一下 q|a <=> a = c1q;
q|b <=> b = c2q;

二、核心定理

gcd(a,b)=gcd(b,amodb)

• 即 a 和 b 的最大公约数 = b 和 amodb 的最大公约数 ；

这是辗转相除法的 “灵魂”—— 它将求 gcd(a,b) 的问题，转化为求更小的数 gcd(b,r) 的问题（其中 r=amodb，即 a 除以 b 的余数，0≤r<b）
要理解这个定理，需分两步证明：

1. 证明 gcd(a,b)∣gcd(b,r)（即 a 和 b 的最大公约数，也是 b 和 r 的约数）；
2. 证明 gcd(b,r)∣gcd(a,b)（即 b 和 r 的最大公约数，也是 a 和 b 的约数）；
3. 由 “两个数互相整除则相等”，可得 gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步：证明 gcd(a,b)∣gcd(b,r)
设 q=gcd(a,b)，
根据 GCD 的定义，有：
q∣a（即存在整数 k1，使 a=q⋅k1）；
q∣b（即存在整数 k2​ ，使 b=q⋅k2）。
又因为 r=amodb，根据 “除法算式” 的定义，a 可表示为：a=b⋅c+r（其中 c 是商，整数；0≤r<b）。
将 a=q⋅k1  和 b=⋅k2 代入上式，整理得：r=a−b⋅c=q⋅k1 −q⋅k2​ ⋅c=q⋅(k1 −k2​⋅c)。这说明 q∣r（因为 k1−k2 ⋅c 是整数）。
此时，q同时满足：q∣b（已知）；q∣r（刚证明）。
即 q 是 b和 r 的公共约数。
而gcd(b,r)是 b 和 r 的最大公约数，根据 GCD 的 “最大性”所有公共约数都能整除最大公约数，
因此：q∣gcd(b,r)，即 gcd(a,b)∣gcd(b,r)。

第二步：证明 gcd(b,r)∣gcd(a,b)
设 q=gcd(b,r)，
根据 GCD 的定义，有：
q∣b（即存在整数 m1，使 b=q⋅m1​）；
q∣r（即存在整数 m2 ，使 r=q⋅m2）。
再结合除法算式 a =b⋅c+r，将 b=q⋅m1和 r=q⋅m2 代入，得：
a=q⋅m1⋅c+q⋅m 2 =q⋅(m1⋅c+m 2 )。
这说明 q∣a（因为 m1 ⋅q+m2 是整数）。
此时，q同时满足：q∣a（刚证明）；q∣b（已知）。
即 q 是 a 和 b 的公共约数。
同理，gcd(a,b) 是 a 和 b 的最大公约数，因此：q∣gcd(a,b)，即 gcd(b,r)∣gcd(a,b)。
结论：gcd(a,b)=gcd(b,r)
由第一步 gcd(a,b)∣gcd(b,r) 和第二步 gcd(b,r)∣gcd(a,b)，
根据 “整数整除的对称性”（若 x∣y 且 y∣x，则 x=y，且 x,y 均为正整数）
可得：gcd(a,b)=gcd(b,amodb)。

三、算法的终止性：余数逐步缩小至 0

有了核心定理，辗转相除法的 “迭代过程” 就很自然了：

• 每次将问题规模缩小（用 b 代替 a，用 (r = a mod b) 代替 b），由于余数 r 满足 (0 < r < b)，每次迭代后，第二个数都会严格减小（从 b 到 r，再到下一次的余数，直到余数为 0）。
• 当余数为 0 时，根据 GCD 的定义，(gcd(x, 0) = x)（因为任何数都能整除 0，且 x 的最大约数是它本身）。
  此时，当前的第一个数就是最初两个数的 GCD。

四.实例

都是理论知识也会枯燥，来看一下实例

        gcd(48,18)  -> 48 / 18 = 2 ......12;
<=>  gcd(18,12)  ->18/12=1......6;
<=>  gcd(12,6)    ->12/6 = 0;
<=>  gcd(6,0)     -> == 6;

#include <iostream>
#include <algorithm>  // 用于swap函数
using namespace std;// 简洁的循环版本（推荐）
int gcd(int a, int b) {while (b != 0) {int remainder = a % b;a = b;b = remainder;}return a;
}// 递归版本
int gcd_recursive(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd_recursive(b, a % b);
}// 处理负数的版本
int gcd_with_negative(int a, int b) {a = abs(a);b = abs(b);while (b != 0) {int temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;
}int main() {int num1, num2;cout << "请输入两个整数: ";cin >> num1 >> num2;// 使用循环版本cout << "循环版本 - " << num1 << " 和 " << num2 << " 的最大公约数是: " << gcd(num1, num2) << endl;// 使用递归版本cout << "递归版本 - " << num1 << " 和 " << num2 << " 的最大公约数是: " << gcd_recursive(num1, num2) << endl;// 处理负数的版本cout << "处理负数版本 - " << num1 << " 和 " << num2 << " 的最大公约数是: " << gcd_with_negative(num1, num2) << endl;// 测试多个例子cout << "\n测试例子:" << endl;cout << "gcd(48, 18) = " << gcd(48, 18) << endl;  // 应该输出6cout << "gcd(56, 42) = " << gcd(56, 42) << endl;  // 应该输出14cout << "gcd(17, 13) = " << gcd(17, 13) << endl;  // 应该输出1return 0;
}

五、本质总结

用 “整除传递性” 压缩问题规模辗转相除法的数学本质，是利用 “公共约数的传递性” 和 “余数的有界性”：

• 公共约数的传递性：a 和 b 的公共约数，与 b 和 r 的公共约数完全相同，因此最大公约数也相同；
• 余数的有界性：每次余数都比前一个除数小，最终必然缩小到 0，此时算法终止，直接得到 GCD。
  这一原理不仅保证了算法的正确性，还决定了其极高的效率（时间复杂度为 (O(log min(a, b)))）使其成为数论中最基础、最经典的算法之一。