从微分方程到FIR

要理解 FIR 低通滤波器，需先明确一个关键前提：FIR 是离散时间系统，而微分方程是连续时间系统的描述工具。因此，我们会从“简单的连续低通滤波器微分方程”入手，先建立连续域的低通滤波逻辑，再通过“离散化”过渡到 FIR 低通滤波器（无反馈、有限长脉冲响应），最终给出一个可计算的 FIR 低通实例。

第一步：从连续低通滤波器的微分方程开始

最简单的连续低通滤波器是 RC 低通电路，它能滤除高频信号、保留低频信号，其核心是通过电阻（R）和电容（C）的充放电实现“平滑”作用，对应的微分方程非常简洁。

1. RC 低通电路的物理模型与微分方程推导

RC 低通电路的结构如下：输入电压为连续信号 $V_i(t)$（如含高频噪声的直流信号），输出电压为电容两端的电压 $V_o(t)$（平滑后的低频信号），电阻 R 和电容 C 串联。

根据 基尔霍夫电压定律（KVL），回路总电压满足：
电阻两端电压 $V_R(t)+$ 电容两端电压 $V_o(t) = 输入电压 $V_i(t)$

结合元件的伏安特性：

• 电阻电流 $I(t)=\frac{V_R(t)}{R}$（欧姆定律），因此 $V_R(t)=R\cdot I(t)$；
• 电容电流 $I(t)=C\cdot \frac{d{V}_o(t)}{dt}$（电容电流是电压的微分，C 为电容值）。

将上述关系代入 KVL 方程：
$R\cdot C\cdot \frac{d{V}_o(t)}{dt}+V_o(t)=V_i(t)$

这就是 RC 连续低通滤波器的微分方程，其中：

• 左侧：$RC\cdot \frac{d{V}_o(t)}{dt}$ 是“阻尼项”（体现电容充放电的快慢），$V_o(t)$ 是输出项；
• 右侧：$V_i(t)$ 是输入项；
• $RC$ 称为“时间常数”（记为 $\tau =RC$），$\tau$ 越大，滤波平滑效果越强（高频衰减越明显）。

2. 连续低通的频率特性（为离散化做铺垫）

对微分方程两边做 拉普拉斯变换（连续域频域分析工具），可得到连续低通的频率响应 $H_c(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}$，代入 $s=j\omega$（$\omega$ 为连续角频率）后：
$H_c(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega \tau }$

其 幅度响应（描述对不同频率的衰减能力）为：
$|H_c(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega \tau {)}^2}}$

• 当 $\omega =0$（直流信号）：$|H_c(j0)|=1$（无衰减，完全保留）；
• 当 $\omega ={\omega }_c=\frac{1}{\tau }$（截止角频率）：$|H_c(j{\omega }_c)|=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$（对应 -3dB 衰减，定义为低通的截止频率）；
• 当 $\omega \gg {\omega }_c$（高频信号）：$|H_c(j\omega )|\approx 0$（大幅衰减，滤除高频）。

这就是连续低通的核心功能：保留 $\omega \le {\omega }_c$ 的低频，衰减 $\omega >{\omega }_c$ 的高频。

第二步：从连续低通到离散 FIR 低通的过渡

FIR 是离散系统，需将连续低通的“平滑滤波”逻辑转化为“离散域的有限长加权求和”（无反馈）。关键步骤是 离散化（将连续时间 $t$ 转化为离散时刻 $nT$，$T$ 为采样周期）和 FIR 化（去除反馈，保证有限长脉冲响应）。

1. 连续低通的离散化（以欧拉法为例）

离散化的核心是用“离散差分”近似连续微分。对 RC 低通的微分方程，用 向前差分 近似 $\frac{d{V}_o(t)}{dt}$：
连续微分：$\frac{d{V}_o(t)}{dt}\approx \frac{V_o((n+1)T)-V_o(nT)}{T}$
（$n$ 为离散时刻索引，$V_o(nT)$ 表示第 $n$ 个采样点的输出，记为 $y(n)$；输入 $V_i(nT)$ 记为 $x(n)$）

将差分代入连续微分方程，整理得 离散递推关系：
$y(n+1)=\left(1-\frac{T}{\tau }\right)y(n)+\frac{T}{\tau }x(n)$

但注意：这个离散系统是 IIR（无限长脉冲响应），因为输出 $y(n+1)$ 依赖前一时刻的输出 $y(n)$（存在反馈），不符合 FIR“无反馈、仅依赖输入有限历史值”的核心特征。

2. FIR 低通的核心：去除反馈，保留有限长输入依赖

要得到 FIR，需改造上述离散系统：输出仅依赖输入的有限个历史值（无反馈）。例如，若输出仅依赖当前输入 $x(n)$ 和前 2 个输入 $x(n-1)、x(n-2)$（3 个输入，即“3 抽头 FIR”），则输出公式为：
$y(n)=h(0)x(n)+h(1)x(n-1)+h(2)x(n-2)$

这就是 FIR 的核心——卷积和（有限项），其中 $h(0)、h(1)、h(2)$ 是 FIR 的“滤波系数”（即单位脉冲响应 $h(n)$），需满足：

• 系数有限长（仅 3 个非零值，符合 FIR 定义）；
• 逼近连续低通的频率特性（保留低频、衰减高频）。

第三步：3 抽头 FIR 低通滤波器实例（完整设计与验证）

基于上述逻辑，我们设计一个 3 抽头 FIR 低通滤波器，目标是逼近 RC 低通的滤波效果，具体步骤如下：

1. 确定设计参数

• 采样频率 $f_s=\frac{1}{T}=1000\text{Hz}$（即采样周期 $T=1\text{ms}$）；
• 目标截止频率 $f_c=200\text{Hz}$（与 RC 低通的截止频率一致，需保留 ≤200Hz 的信号）；
• 抽头数 $N=3$（FIR 系数 $h(n)$ 仅在 $n=0、1、2$ 非零）。

2. 计算 FIR 滤波系数 $h(n)$（窗函数法）

FIR 系数的设计需逼近“理想离散低通”的脉冲响应，常用 窗函数法（简单直观），步骤如下：

（1）理想离散低通的脉冲响应 $h_d(n)$

理想离散低通的频率响应为：
$H_d(e^{j\omega })=1$（当 $|\omega |\le {\omega }_c$），$H_d(e^{j\omega })=0$（当 $|\omega |>{\omega }_c$）
其中 ${\omega }_c=2\pi \frac{f_c}{f_s}=2\pi \times \frac{200}{1000}=0.4\pi \text{rad}$（数字截止角频率）。

通过 逆离散时间傅里叶变换（IDTFT），可得理想脉冲响应：
$h_d(n)=\frac{{\omega }_c}{\pi }\cdot \text{sinc}\left(\frac{{\omega }_{c}n}{\pi }\right)$
（$\text{sinc}(x)=\frac{\sin (x)}{x}$ 为抽样函数，是无限长序列）。

代入 ${\omega }_c=0.4\pi$，计算关键时刻的 $h_d(n)$：

• $n=0$：$h_d(0)=\frac{0.4\pi }{\pi }\cdot \text{sinc}(0)=0.4\times 1=0.4$；
• $n=\pm 1$：$h_d(1)=h_d(-1)=0.4\cdot \text{sinc}(0.4)=0.4\times \frac{\sin (0.4)}{0.4}\approx 0.303$；
• $n=\pm 2$ 及以外：$h_d(n)$ 衰减至接近 0（可忽略）。

（2）用窗函数截断得到 FIR 系数 $h(n)$

由于 $h_d(n)$ 是无限长序列，需用“矩形窗”（最简单的窗函数，$w(n)=1$ 当 $n=0、1、2$，否则为 0）截断，得到有限长的 FIR 系数：
为保证 线性相位（无相位失真），需让系数对称（$h(0)=h(2)$），因此：

• $h(0)=h_d(-1)\approx 0.303$（对应输入 $x(n)$ 的权重）；
• $h(1)=h_d(0)=0.4$（对应输入 $x(n-1)$ 的权重）；
• $h(2)=h_d(1)\approx 0.303$（对应输入 $x(n-2)$ 的权重）。

最终 3 抽头 FIR 低通的系数为：
$\boxed{h(0)=0.303,h(1)=0.4,h(2)=0.303}$

3. 验证 FIR 低通的滤波效果

我们输入一个 混合信号（含通带信号和阻带信号），通过 FIR 的卷积和计算输出，验证滤波效果。

（1）输入信号 $x(n)$

输入为“1Hz 正弦波（通带，≤200Hz）+ 500Hz 正弦波（阻带，>200Hz）”，表达式为：
$x(n)=\sin \left(2\pi \times 1\times \frac{n}{f_s}\right)+\sin \left(2\pi \times 500\times \frac{n}{f_s}\right)$
代入 $f_s=1000\text{Hz}$，简化为：
$x(n)=\sin \left(\frac{2\pi n}{1000}\right)+\sin (\pi n)$

（2）FIR 输出计算（卷积和）

根据 FIR 的输入输出关系（卷积和）：
$y(n)=h(0)x(n)+h(1)x(n-1)+h(2)x(n-2)$

代入具体数值计算（以 $n=2、3、4$ 为例）：

• $n=2$：$y(2)=0.303x(2)+0.4x(1)+0.303x(0)$
  计算得：$x(0)=0+0=0$，$x(1)=\sin (0.002\pi )+\sin (\pi )\approx 0.00628+0=0.00628$，$x(2)=\sin (0.004\pi )+\sin (2\pi )\approx 0.01257+0=0.01257$
  因此 $y(2)\approx 0.303\times 0.01257+0.4\times 0.00628+0.303\times 0\approx 0.00381+0.00251\approx 0.00632$（接近 1Hz 信号的幅值）。

• $n=100$（稳定阶段）：$500\text{Hz}$ 信号 $\sin (\pi n)$ 每采样点交替为 1、-1、1、-1，代入卷积和：
  $y(100)=0.303\times 1+0.4\times (-1)+0.303\times 1=(0.303+0.303)-0.4=0.606-0.4=0.206$（500Hz 信号衰减至约 0.2，远小于通带信号）。

（3）滤波效果结论

• 通带信号（1Hz）：输出幅值接近输入幅值（衰减很小）；
• 阻带信号（500Hz）：输出幅值大幅衰减（从 1 降至约 0.2，衰减约 13.7dB）；
• 线性相位：由于系数对称（$h(0)=h(2)$），输出信号无相位失真，仅延迟 $\frac{N-1}{2}=1$ 个采样点（符合线性相位特性）。

总结：从微分方程到 FIR 低通的逻辑链

1. 连续基础：RC 低通的微分方程（$RC\frac{d{V}_o}{dt}+V_o=V_i$）描述了连续低通的核心逻辑（平滑、滤高频）；
2. 离散过渡：通过差分近似微分将连续系统转化为离散系统，再去除反馈，得到 FIR 的“有限长输入依赖”结构；
3. FIR 设计：用窗函数法截断理想离散低通的无限长脉冲响应，得到有限长系数 $h(n)$；
4. 功能验证：通过卷积和计算输出，验证通带信号保留、阻带信号衰减的低通效果。

这个实例展示了 FIR 低通的本质：用无反馈的有限长加权求和，逼近连续低通的滤波特性，且具有绝对稳定、线性相位的优势。