高阶常系数线性微分方程求解方法全解析

一、二阶常系数线性微分方程 y’‘+py’+qy=f(x)

1. 齐次方程通解的求解

特征识别

• 方程形式：$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$
• 特征方程：${\lambda }^2+p\lambda +q=0$

求解方法与理解

情况一：$\Delta >0$（两个不等实根）

• 特征根：${\lambda }_1,{\lambda }_2=(-p\pm \sqrt{\Delta })/2$
• 通解：$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$
• 理解：两个线性无关的指数函数解

情况二：Δ=0（重根）

• 特征根：${\lambda }_1={\lambda }_2=-p/2$（二重根）
• 通解：$y=(C_1+C_{2}x)e^{\lambda x}$
• 理解：一个指数解乘以多项式，保证线性无关

情况三：Δ<0（共轭复根）

• 特征根：$\lambda =\alpha \pm \beta i$，其中$\alpha =-p/2，\beta =\sqrt{-\Delta }/2$
• 通解： $y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$
• 理解：欧拉公式将复指数转化为三角函数

示例题目

例1：求$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$的通解

特征方程：${\lambda }^2-3\lambda +2=0\to {\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2$
通解：$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{(}2x)$

例2：求y’‘+4y’+4y=0的通解

特征方程：${\lambda }^2+4\lambda +4=0\to \lambda =-2$（重根）
通解：$y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}$

例3：求y’‘+2y’+5y=0的通解

特征方程：${\lambda }^2+2\lambda +5=0\to \lambda =-1\pm 2i$
通解：$y=e^{-x}(C_{1}cos2x+C_{2}sin2x)$

2. 非齐次方程特解的求解

类型一：$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$

特征识别：多项式与指数函数的乘积

求解方法：

• 设特解形式：$y\ast =x^k{Q}_n(x)e^{\alpha x}$
• k的取值规则：
  • $k=0$（α不是特征根）
  • $k=1$（α是单特征根）
  • $k=2$（α是重特征根）
• Qₙ(x)是与Pₙ(x)同次的多项式

示例题目

例4：求$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=x{e}^x$的特解

对应齐次方程特征根：${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2$
$f(x)=x{e}^x$，$\alpha =1$是单特征根，$n=1$
设特解：$y\ast =x(ax+b)e^x$ 代入求解得：$y\ast =x(-x-1)e^x$

类型二：$f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)cos\beta x+P_n(x)sin\beta x]$

特征识别：指数函数与三角函数的乘积

求解方法：

• 设特解形式：$y\ast =x^k{e}^{\alpha x}[R_l(x)cos\beta x+S_l(x)sin\beta x]$
• $l=max(m,n)$
• $k$的取值规则：
  • $k=0$（$\alpha \pm \beta i$ 不是特征根）
  • $k=1$（$\alpha \pm \beta i$ 是特征根）

示例题目

例5：求$y^{\prime \prime }+y=sinx$的特解

对应齐次方程特征根：$\lambda =\pm i$
$f(x)=sinx，\alpha =0,\beta =1，\alpha \pm \beta i=\pm i$ 是特征根
设特解：$y\ast =x(acosx+bsinx)$
代入求解得：$y\ast =-x/2\cdot cosx$

二、方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)+f_2(x)$

求解方法

• 叠加原理：分别求$y_1\ast$对应$f_1(x)$，$y_2\ast$对应$f_2(x)$
• 特解：$y\ast =y_1\ast +y_2\ast$

示例题目

例6：求$y^{\prime \prime }-y=x+e^x$的特解

分别求解：
$f_1(x)=x$：设$y_1\ast =ax+b$，解得$y_1\ast =-x$
$f_2(x)=e^x$：$\alpha =1$是特征根，设$y_2\ast =Cx{e}^x$，解得$y_2\ast =x/2\cdot e^x$
特解：$y\ast =-x+x/2\cdot e^x$

三、欧拉方程

特征识别

• 形式：$x^n{y}^{(n)}+a_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...+a_{n-1}x{y}^{\prime }+a_{n}y=f(x)$

求解方法

变量代换：令$x=e^t$或$t=ln|x|$

• 导数变换：
  • $x{y}^{\prime }=dy/dt$
  • $x^2{y}^{\prime \prime }=d^{2}y/d{t}^2-dy/dt$
  • $x^3{y}^{\prime \prime \prime }=d^{3}y/d{t}^3-3d^{2}y/d{t}^2+2dy/dt$

示例题目

例7：求解$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-y=0$

令$x=e^t$，则方程化为：$d^{2}y/d{t}^2-y=0$
特征方程：${\lambda }^2-1=0\to \lambda =\pm 1$
通解：$y=C_1{e}^t+C_2{e}^{-t}=C_{1}x+C_2/x$

四、n阶常系数线性微分方程的解结构

1. 解有$e^{\lambda x}$，$\lambda$为单实根

• 对应解：$C{e}^{\lambda x}$
• 理解：基本指数解

2. 解有$x^{k-1}{e}^{\lambda x}$，$\lambda$为$k$重实根

• 对应解：$(C_0+C_{1}x+...+C_{k-1}{x}^{k-1})e^{\lambda x}$
• 理解：重根导致需要多项式乘子保证线性无关

3. 解有$e^{\alpha x}cos\beta x$或$e^{\alpha x}sin\beta x$

• 对应解：$e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$
• 理解：共轭复根产生振荡解

4. 解有$e^{\alpha x}xcos\beta x$或$e^{\alpha x}xsin\beta x$

• 对应解：$x{e}^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$
• 理解：重共轭复根需要乘以x

示例题目

例8：求$y^{\prime \prime \prime }-3y^{\prime \prime }+3y^{\prime }-y=0$的通解

特征方程：${\lambda }^3-3{\lambda }^2+3\lambda -1=0\to (\lambda -1{)}^3=0$
三重根$\lambda =1$
通解：$y=(C_1+C_{2}x+C_3{x}^2)e^x$

总结与解题技巧

核心思想

1. 齐次解：由特征方程决定，反映系统的固有特性
2. 特解：由非齐次项决定，反映外部激励的响应
3. 通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

解题步骤

1. 写出特征方程，求特征根
2. 根据特征根写出齐次通解
3. 根据f(x)形式设定特解形式
4. 确定特解中的待定系数
5. 组合得到最终通解

常见易错点

• 特解形式设定时忘记乘x^k
• 复根情况忘记虚部对应三角函数
• 欧拉方程变量代换时导数变换错误

通过系统掌握这些方法，能够解决绝大多数高阶常系数线性微分方程的求解问题。