一阶微分方程求解方法详解：构建系统学习笔记

1. 可分离变量方程

1.1 标准形式：y’ = f(x)g(y)

方法描述：
将方程化为 $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，然后分离变量为 $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$，两边积分。

示例：
求解 $\frac{dy}{dx}=2xy$

解：
分离变量：$\frac{dy}{y}=2xdx$
两边积分：$\int \frac{1}{y}dy=\int 2xdx$
得：$\ln |y|=x^2+C_1$
所以：$y=\pm e^{x^2+C_1}=C{e}^{x^2}$ （其中 $C=\pm e^{C_1}$）

理解与技巧：

• 核心思想：将含x和含y的项分离到等式两边
• 注意检查g(y)=0的特殊情况
• 积分后注意化简，特别是对数函数和指数函数的转换

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1.2 可化为分离变量：y’ = f(ax+by+c)

方法描述：
令 $u=ax+by+c$，则 $\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}$，代入原方程。

示例：
求解 $\frac{dy}{dx}=(x+y{)}^2$

解：
令 $u=x+y$，则 $\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}=1+u^2$
分离变量：$\frac{du}{1+u^2}=dx$
两边积分：$\arctan u=x+C$
所以：$u=\tan (x+C)$
回代：$x+y=\tan (x+C)$，即 $y=\tan (x+C)-x$

理解与技巧：

• 识别形式：微分方程右侧是线性组合的函数
• 换元后一定可以得到可分离变量的形式
• 最后记得回代原变量

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2. 齐次方程

2.1 标准齐次：y’ = f(y/x)

方法描述：
令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$，代入方程。

示例：
求解 $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\tan (\frac{y}{x})$

解：
令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$
代入：$u+x{u}^{\prime }=u+\tan u$
化简：$x{u}^{\prime }=\tan u$
分离变量：$\frac{du}{\tan u}=\frac{dx}{x}$
积分：$\int \cot udu=\int \frac{1}{x}dx$
得：$\ln |\sin u|=\ln |x|+C$
所以：$\sin u=Cx$
回代：$\sin (\frac{y}{x})=Cx$

理解与技巧：

• 识别特征：方程右侧是y/x的函数
• 换元后一定可以分离变量
• 注意三角函数的积分公式

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2.2 可化为齐次：y’ = f((ax+by+c)/(a₁x+b₁y+c₁))

情况分析：

a. 当c=c₁=0时
方程变为 $y^{\prime }=f(\frac{ax+by}{a_{1}x+b_{1}y})=f(\frac{a+b(y/x)}{a_1+b_1(y/x)})$，按2.1方法求解。

示例：
求解 $\frac{dy}{dx}=\frac{2x+3y}{4x+5y}$

解：
令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$
代入：$u+x{u}^{\prime }=\frac{2+3u}{4+5u}$
整理：$x{u}^{\prime }=\frac{2+3u}{4+5u}-u=\frac{2-u-2u^2}{4+5u}$
分离变量求解…

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b. 当a/a₁=b/b₁时
令 $u=ax+by$，化为可分离变量方程。

示例：
求解 $\frac{dy}{dx}=\frac{2x+3y+1}{4x+6y+5}$

解：
因 $\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$，令 $u=2x+3y$
则 $\frac{du}{dx}=2+3\frac{dy}{dx}=2+3\cdot \frac{u+1}{2u+5}$
整理：$\frac{du}{dx}=\frac{7u+13}{2u+5}$
分离变量求解…

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c. 一般情况
联立 $\{\begin{array}{l}ax+by+c=0\\ a_{1}x+b_{1}y+c_1=0\end{array}$ 解出 $(x_0,y_0)$，令 $X=x-x_0$，$Y=y-y_0$。

示例：
求解 $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y+1}{x+y-3}$

解：
解方程组：$\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ x+y-3=0\end{array}$ 得 $x_0=1,y_0=2$
令 $X=x-1,Y=y-2$，则原方程变为：
$\frac{dY}{dX}=\frac{X-Y}{X+Y}$
此为齐次方程，按2.1方法求解。

理解与技巧：

• 先判断属于哪种情况
• 情况c通过坐标平移消除常数项
• 平移后注意新变量的范围

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3. 一阶线性微分方程

标准形式：$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$

求解公式：
$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right]$

示例：
求解 $y^{\prime }+2xy=2x$

解：
$P(x)=2x,Q(x)=2x$
$\int P(x)dx=\int 2xdx=x^2$
积分因子：$e^{\int P(x)dx}=e^{x^2}$
代入公式：
$y=e^{-x^2}\left[\int 2x{e}^{x^2}dx+C\right]=e^{-x^2}\left[e^{x^2}+C\right]=1+C{e}^{-x^2}$

理解与技巧：

• 必须化为标准形式：y’项系数为1
• 积分因子：$e^{\int P(x)dx}$ 是关键
• 公式推导：两边乘积分因子，左边恰为某函数导数

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4. 伯努利方程

标准形式：$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$ （$n\ne 0,1$）

求解方法：
令 $z=y^{1-n}$，化为线性方程。

示例：
求解 $y^{\prime }+y=x{y}^2$

解：
此为伯努利方程，$n=2$
令 $z=y^{1-2}=y^{-1}$，则 $y=z^{-1}$，$y^{\prime }=-z^{-2}{z}^{\prime }$
代入：$-z^{-2}{z}^{\prime }+z^{-1}=x{z}^{-2}$
乘以 $-z^2$：$z^{\prime }-z=-x$
此为线性方程，按方法3求解：
$z=e^x\left[\int (-x)e^{-x}dx+C\right]=...$
最后回代 $y=z^{-1}$

理解与技巧：

• 识别形式：右侧含y的n次幂
• 换元后一定得到线性方程
• 注意n=0,1时退化为线性方程

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总结与解题策略

识别流程图：

给定一阶微分方程↓
判断是否为可分离变量 → 是 → 分离变量法↓ 否
判断是否为齐次方程 → 是 → 齐次方程法↓ 否
判断是否为线性方程 → 是 → 公式法/积分因子法↓ 否
判断是否为伯努利方程 → 是 → 伯努利方程法↓ 否
考虑其他方法（恰当方程、积分因子等）

通过系统掌握这四类基本解法，大多数一阶微分方程都能顺利求解。