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【C++】AVL详解

news 2025/9/29 6:34:14

本文是小编巩固自身而作，如有错误，欢迎指出！

目录

一、AVL的概念

二、AVL树的基本结构

三、AVL的插入

（1）AVL树的插入过程

（2）平衡因子的更新

（3）AVL树的旋转

3.1左/右单旋

3.2左右双旋

四、AVL树的查找

五、AVL树的平衡检测

六、完整代码及测试

一、AVL的概念

• AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的 左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树， 通过控制⾼度差去控制平衡。

 • AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何 结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡， 就像⼀个⻛向标⼀样。

不了解二叉搜索树树的可以看看前文

【C++】二叉搜索树https://blog.csdn.net/2401_85487070/article/details/151681422?fromshare=blogdetail&sharetype=blogdetail&sharerId=151681422&sharerefer=PC&sharesource=2401_85487070&sharefrom=from_link

二、AVL树的基本结构

AVL树的基本结构和普通的二叉搜索树差别不大，就是多了一个参数平衡因子--bf,大体结构如下列代码所示。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到 pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr),_bf(0){}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:}

三、AVL的插入

向AVL树中插入节点与向二叉搜索树中插入节点的过程基本相同，唯一的区别就是AVL树在插入节点后可能存在失衡的情况，需要调整。

（1）AVL树的插入过程

1. 插入⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了
3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树
的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

（2）平衡因子的更新

更新原则：

• 平衡因⼦=右⼦树⾼度-左⼦树⾼度

• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。

• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左⼦树，parent平衡因⼦--

• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件：

• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0或者1->0，说明更新前 parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会 影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。 

• 更新后parent的平衡因⼦等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1或者0->-1，说 明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所 在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向 上更新。

• 更新后parent的平衡因⼦等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2或者-1->-2，说 明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼ 了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把 parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不 需要继续往上更新，插⼊结束。

• 不断更新，更新到根，根的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。

而上述过程我们将其分成两部分，走到最下端和插入更新（部分需旋转）

下面是走到最下端的代码

bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur)//走到最下端{if (cur->_kv.first<kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}

然后我们插入新节点更新平衡因子

cur = new Node(kv);cur->_bf = 0;if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//更改新插入节点的parentwhile (parent){if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 旋转处理}

然后当parent节点的平衡因子达到2时我们开始进行旋转操作

（3）AVL树的旋转

所谓AVL树的旋转，其目的就是在插入新节点后使树从新变得平衡 。

而AVL树的旋转分为四种左/右单旋,左/右双旋

3.1左/右单旋

在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平 衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。

其中旋转的步骤主要就是在于将subL旋转成新的parent节点然后将subLR变成原来parent节点的左子树（左边高插入的情况）

void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}

其中我们主要注意的就是就是旋转后要将parent和subL的平衡度归零

左单旋也是同理，只是左右顺序相反

void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}	Node* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}subR->_bf = parent->_bf = 0;}

3.2左右双旋

我们先看看下列样图

左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题我们可以看到如果向之前一样将subLR转接到原来parent的左边，并不能解决问题，因此我们需要使用双旋，也就是将subL为节点进行一个左旋，然后将整体进行右旋。

下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL ⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为 我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置 不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论：

场景1：

h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦， 引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5 平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1

场景2：

h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引
发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1

场景3：

h==0a时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋 转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0

void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;if (subL == nullptr)return;Node* subLR = subL->_right;if (subLR == nullptr)return;int bf = subLR->_bf;//根据subLR的值判断插入位置RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf= 0;}else if(bf==-1){subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}

而左双旋和其原理一致，不多赘述。

四、AVL树的查找

那⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)

Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}

五、AVL树的平衡检测

要想进行AVL树的平衡检测，直接通过平衡因子进行确定肯定是行不通的，因为我们程序的运行就基于平衡因子的正确，用平衡因子检测就是自欺欺人，因此我们这里使用检测左右子树的高度差来确定是否平衡。

int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}

其思路就是一个简单的递归函数最后会返回高度差。

bool _IsBalanceTree(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int bf = rightHeight - leftHeight;if (abs(bf) >= 2 || bf != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left)&& _IsBalanceTree(root->_right);}

六、完整代码及测试

.h文件

#pragma once
#include<assert.h>
#include<iostream>
#include<utility>
#include<cstdlib>
using namespace std;template<class K,class V>
struct AVLtreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLtreeNode<K, V>* _left;AVLtreeNode<K, V>* _right;AVLtreeNode<K, V>* _parent;int _bf;//balance factor;AVLtreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr),_bf(0){}
};template<class K,class V>
class AVLtree
{typedef AVLtreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur)//走到最下端{if (cur->_kv.first<kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_bf = 0;if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//更改新插入节点的parentwhile (parent){if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 旋转处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}break;}else//超过2{assert(false);}}return true;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}	Node* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}subR->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;if (subL == nullptr)return;Node* subLR = subL->_right;if (subLR == nullptr)return;int bf = subLR->_bf;//根据subLR的值判断插入位置RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf= 0;}else if(bf==-1){subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;if (subR == nullptr)return;Node* subRL = subR->_left;if (subRL == nullptr)return;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}int Size(){return _Size(_root);}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";//cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}bool _IsBalanceTree(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int bf = rightHeight - leftHeight;if (abs(bf) >= 2 || bf != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left)&& _IsBalanceTree(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}int _Size(Node* root){return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}Node* _root = nullptr;};

.cpp文件

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include"AVLtree.h"
#include<iostream>
using namespace std;
void test01()
{AVLtree<int, int> t;// 常规的测试用例int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// 特殊的带有双旋场景的测试用例//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){if (e == 14){int x = 0;}t.Insert({ e, e });t.InOrder();cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalanceTree() << endl;}//t.InOrder();//cout << t._IsBalanceTree() << endl;
}
void test02()
{AVLtree<int, int> t;int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };for (auto e : a){if (e == 14){int x = 0;}t.Insert({ e, e });t.InOrder();cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalanceTree() << endl;}auto f1 = t.Find(7);cout << f1->_kv.first << endl;
}
int main()
{//AVLtree<int, int> t;//t.Insert({ 1,2 });//t.Insert({ 2,3 });  //test01();test02();return 0;
}

测试结果

今天的分享就到这里了，后续会继续更新，感谢阅读！

http://www.dtcms.com/a/418555.html

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