Python 数学公式构建海洋不明生物（好像是水母）动画 - 简谐振动

Python 数学公式构建海洋不明生物（好像是水母）动画 - 简谐振动

flyfish

效果展示与源码

可以先欣赏下海洋不明生物（好像是水母）的动画

代码绘制效果如下图

哎，咱先不说那些公式啊，先说个直观感受——你看那动画里的水母，一荡一荡的，不像硬邦邦的机器，倒真像在水里飘着，触手还轻轻颤，这股“活劲儿”哪儿来的？跟咱们小时候玩的弹簧玩具、家里挂的钟摆，是一个底层逻辑，叫啥“简谐振动”。

一、简谐振动（SHM）

简谐振动（Simple Harmonic Motion，简称SHM）是自然界最基础的周期性运动形式，也是水母动画中“振动感”的理论根源。它描述了物体在平衡位置附近的往复运动。
Harmonic 的意思
日常语境：形容关系、声音、色彩等的和谐感，比如 “harmonic relationship”（和谐的关系）、“harmonic sounds”（悦耳协调的声音）。
抽象语境：强调 “规律性、协调性”，比如 “harmonic balance”（调和平衡）
不同场景

领域	含义	典型搭配/例子
日常/通用	和谐的、协调的	harmonic atmosphere（和谐氛围）
物理学	谐波的、谐频的（周期性振动成分）	harmonic motion（谐运动）、harmonics（谐波）
音乐	泛音的、和声的	harmonic series（泛音列）、harmony（和声）
数学	调和的、谐波函数	harmonic sequence（调和序列）

1. 定义

简谐振动的本质是线性恢复力作用下的往复运动：当物体偏离平衡位置时，会受到一个与位移成正比、方向相反的“恢复力”，这个力会将物体拉回平衡位置，进而引发周期性振荡。

关键物理条件：恢复力满足胡克定律（Hooke’s Law），数学表达式为：
$F=-kx$
其中，$F$ 是恢复力，$k$ 是刚度常数（反映“恢复能力”强弱），$x$ 是物体偏离平衡位置的位移，负号表示力的方向与位移相反（始终指向平衡位置）。

基本特征：

• 周期性：运动重复循环，完成一次完整振荡的时间（周期）固定。
• 对称性：从平衡位置到两侧最大位移（振幅）的距离相等。
• 加速度特性：加速度始终与位移反向且成正比（$a=-{\omega }^{2}x$，$\omega$ 为角频率），确保运动的往复性。
• 周期独立性：理想情况下，周期与振幅无关（例如小角度单摆，无论摆幅大小，周期基本不变）。

2. 参数

简谐振动的运动规律可通过二阶线性微分方程推导，其解为正弦或余弦函数，这也是动画中“平滑振动”的数学基础。

（1）微分方程与通解

根据牛顿第二定律（$F=ma$），结合胡克定律可推导出简谐振动的微分方程：
$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$
其中，$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ 称为角频率（$m$ 为物体质量），反映振动的“快慢”。

方程的通解（即位移随时间的变化规律）为：
$x(t)=A\sin (\omega t+\phi )$ 或 $x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$

两种形式本质一致（仅初相位相差 $\frac{\pi }{2}$），实际应用中可根据初始条件选择。

（2）参数解析

通解中的参数直接决定了振动的“形态”，也是动画中可调节效果的关键

参数符号	名称	物理含义	动画中作用
$A$	振幅	物体偏离平衡位置的最大距离（正数），反映振动的“强度”或“范围”。	控制抖动/脉冲的幅度（如水母抖动的剧烈程度，振幅越大，摆动越明显）。
$\omega$	角频率	单位时间内振动的角度变化（单位：弧度/秒），$\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$。	控制振动的“快慢”（$f$ 为频率，$T$ 为周期），$\omega$ 越大，振动越急促。
$t$	时间	运动的时间累积，是振动随时间演变的变量。	动画中对应“帧数”（每帧对应固定时间间隔），确保振动的连续性。
$\phi$	初相位	振动的初始角度（单位：弧度，取值范围 $0$~$2\pi$），反映振动的“起始状态”。	避免多个物体振动同步（如两只水母的抖动错开），增加运动的自然感。

3. 振动持续

理想简谐振动是保守系统（无能量损耗），总能量始终守恒，这解释了振动为何能“持续往复”而不停止。

能量构成：

• 势能 $U$：由位移产生（如弹簧的弹性势能），$U=\frac{1}{2}k{x}^2$，在最大位移处（$x=\pm A$）势能最大，动能为零。
• 动能 $K$：由速度产生，$K=\frac{1}{2}m{v}^2$，在平衡位置（$x=0$）速度最大，动能最大，势能为零。
• 总能量 $E$：$E=K+U=\frac{1}{2}k{A}^2$（恒定不变）。

现实中存在摩擦等能量损耗（阻尼），振动振幅会逐渐衰减（称为“阻尼振动”）。其是在微分方程中加入阻尼项 $\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}$（$b$ 为阻尼系数），动画中常用此原理实现“平滑转向”（如水母碰撞边界时抖动幅度减弱）。

二、从物理模型到振动效果

动画中的“振动”本质是对简谐振动的简化与适配——无需严格遵循物理定律，只需借用其“正弦函数平滑周期性”的特征，通过调节参数实现自然的视觉效果。

1. 动画中振动的逻辑

简谐振动的通解 $x(t)=A\sin (\omega t+\phi )$ 可直接转化为动画中的“位置偏移公式”：
偏移量 = 振幅 × 正弦(角频率 × 时间 + 初相位) × 动态系数

其中“动态系数”是动画特有的扩展（如阻尼、转向衰减），用于增强真实感。这个公式的优势在于：

• 正弦函数输出范围为 $[-1,1]$，偏移量可控且无跳变，视觉上平滑自然。
• 参数独立可调，可分别控制“强度”（振幅）、“快慢”（频率）、“起始状态”（相位），灵活度高。

2. 关键参数的动画映射

物理模型中的参数在动画中被具象化为可调节的“效果参数”

物理参数	动画映射参数	代码中对应变量示例	效果说明
振幅 $A$	抖动强度/脉冲幅度	$motio{n}_{s}cale$、$puls{e}_{a}mp$	$motio{n}_{s}cale=2$ 表示抖动最大偏移2像素；$puls{e}_{a}mp$ 控制圆周运动的振荡范围。
频率 $f$	抖动速度/颜色变化速度	$puls{e}_{f}req$、$colo{r}_{c}hang{e}_{s}peed$	$puls{e}_{f}req=0.2$ 表示每秒脉冲0.2次；$colo{r}_{c}hang{e}_{s}peed=1.0$ 控制颜色脉动频率。
初相位 $\phi$	初始偏移	$phase$	随机生成 $phase$（$0$~$2\pi$），使两只水母抖动不同步。
阻尼系数 $b$	转向衰减速度	$tur{n}_{a}m{p}_{d}ecay$、$mi{n}_{a}mp$	转向时抖动幅度每帧衰减 $0.05$，最低至 $0.2$，避免运动突兀。

三、水母振动

水母动画的“振动感”是多层简谐振动的叠加，包括自身抖动、脉冲运动、转向平滑三大效果，每一层都基于上述原理实现。

1. 自身抖动（Jitter）：模拟触手摆动

自身抖动是水母“活起来”的基础，通过在x、y方向分别叠加简谐振动，产生类似水中漂浮的颤动效果。

（1）实现公式

• x方向抖动：$jitte{r}_x=\sin (2t+\phi )\times motio{n}_{s}cale\times curren{t}_{a}mp$
• y方向抖动：$jitte{r}_y=\cos (1.5t+\phi )\times motio{n}_{s}cale\times curren{t}_{a}mp$

（2）参数解析与效果

• 频率差异：x方向用 $2t$（频率约 $0.318$ Hz），y方向用 $1.5t$（频率约 $0.239$ Hz），不同方向频率不同，模拟“无规则”的自然摆动（避免机械感）。
• 动态幅度：$curren{t}_{a}mp$ 是随转向变化的动态系数（初始1.0，转向时衰减到 $mi{n}_{a}mp=0.2$，再逐渐恢复），实现“碰撞时收束、平稳后舒展”的真实感。
• 视觉效果：水母整体轻微颤动，触手部分因点的分布差异，摆动效果更明显。

2. 脉冲运动（Pulse）：优化圆周轨迹

水母的基础运动是圆周运动，但纯圆形轨迹生硬，通过在“圆周角度”上叠加简谐振动，使轨迹产生微波浪状起伏。

（1）实现公式

1. 计算角频率：$w=2\pi \times puls{e}_{f}req$（$puls{e}_{f}req=0.2$ 为基础频率）
2. 脉冲角度偏移：$puls{e}_{a}dd=\frac{puls{e}_{a}mp}{w}\times \sin (wt)$
3. 最终圆周角度：$curren{t}_{a}ngle=bas{e}_{a}ngle+puls{e}_{a}dd$

（2）效果逻辑

• $puls{e}_{a}mp$ 基于圆周运动速度（如 $circl{e}_{s}peed1\times 0.5$），确保脉冲幅度与运动速度匹配。
• 当水母碰撞边界时，$puls{e}_{a}mp$ 反向（$\times =-1$），模拟“反弹”时的脉冲方向变化，增强物理感。

3. 转向平滑：阻尼振动的应用

当水母接近画布边界时，需通过“转向”避免超出范围，此处借用阻尼振动原理，让抖动幅度平滑衰减再恢复，避免运动突兀。

（1）实现逻辑

1. 边界检测：计算“拟议位置”（$propose{d}_x/y$），若接近边界（$<margin+5$ 或 $>canva{s}_{s}ize-margin-5$），触发转向。
2. 幅度衰减：设置 $i{s}_{t}urning=True$，$curren{t}_{a}mp$ 每帧减少 $tur{n}_{a}m{p}_{d}ecay=0.05$，直至 $mi{n}_{a}mp=0.2$（转向时抖动减弱）。
3. 恢复过程：转向结束后，$curren{t}_{a}mp$ 每帧增加 $0.05$，恢复至1.0（抖动强度复原）。

（2）目的

通过阻尼项模拟“能量损耗与恢复”，让转向过程从“急停反转”变为“缓慢收束再舒展”，符合真实生物的运动逻辑。

4. 颜色振动：视觉效果的延伸

除位置振动外，颜色变化也采用简谐振动原理，通过调节亮度实现“脉动感”，与位置振动形成呼应。

（1）实现公式

1. 亮度系数：$colo{r}_{v}al=\sin (colo{r}_{f}req\times t+\phi )\times 0.5+0.5$（将正弦输出 $[-1,1]$ 映射到 $[0,1]$）
2. 最终颜色：$colors=bas{e}_{c}olors\times (0.6+0.4\times colo{r}_{v}al)$

（2）效果解析

• $colo{r}_{f}req$ 控制颜色脉动速度（如第一只水母 $1.0$、第二只 $0.8$），与位置抖动频率错开，避免视觉单调。
• 亮度变化范围为基础亮度的 $60\%$~$100\%$，变化柔和不刺眼，增强水母的“生物感”。

借用简谐振动的正弦函数周期性，确保运动平滑无跳变（避免随机噪声的杂乱感）将物理参数（振幅、频率、相位）转化为直观的动画参数（抖动强度、速度、初始偏移），方便调节效果。位置抖动、轨迹脉冲、颜色脉动分别对应不同的简谐振动模型，叠加后形成丰富的自然运动。通过阻尼衰减（转向时幅度变化）、随机相位（多物体不同步）等细节，弥补理想物理模型的“机械感”。