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P3051题解

news 2025/9/28 7:38:42

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这道题是思维+数学题,实现起来其实很简单.

我们先假设X[i]为i移到i+1的泥土数量. 我们因此可以得到以下式子:

$A[i] - x[i] +x[i-1]=B[i]$

然后我们从第一个土堆开始,注意土堆围成了一个环:

$A[1] - x[1] + x[n] = B[1]$

我们转换一下变为:

$x[1] = x[n] + A[1] -B[1]$

我们再枚举第二个:

$x[2] = x[1] + A[2] - B[2]$

我们可以把x[1]代入:

$x[2] = x[n]+ A[1]+A[2] -B[1] -B[2]$

依次类推,我们列出通项:

$x[m] = x[n] + \sum_{i=1}^{m}A[i] - \sum_{i=1}^{m}B[i]$

令C[i] = B[i]-A[i],则通项转换为:

$x[m] = \left | x[n] - \sum_{i=1}^{m}C[i] \right |$

我们维护C[i]的前缀和S[i]表示C[1]~C[i]的和,我们就可以把式子转化为:

$x[m]=\left | x[n]-s[m] \right |$

我们发现这些式子构成了一个绝对值不等式,而对于一个绝对值不等式当x[n]为S序列的中位数时和最小,这样x序列的和也就最小.

代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,a[N],b[N],c[N],ans,mid;
signed main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i];for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=c[i-1]+a[i]-b[i];sort(c+1,c+n+1), mid=c[n/2+1];for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(mid-c[i]);cout<<ans;return 0;
}

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