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系列文章目录

《SAR信号处理重要工具-傅里叶变换》

《分数傅里叶变换》

《基于分数傅里叶变换的chirp信号参数估计》

《时频分析-呼吸心跳信号检测方法（六）》

《信号处理分析工具——时频分析（一）》

文章目录

前言

一、短时傅里叶变换

1.1、公式

1.2、仿真

二、小波变换

2.1、公式

2.2、仿真

三、S变换

3.1、公式

3.2、仿真

四、分数阶傅里叶变换

4.1、公式

4.2、仿真

总结

前言

时频分析工具包括两大类：线性时频分析；非线性时频分析。本文主要介绍线性时频分析方法，常见包括：短时傅里叶变换、小波变换、S变换、分数傅里叶变换。

一、短时傅里叶变换

1.1、公式

持续时间 $T$ 的信号 $x\left ( t \right )$ 的短时傅里叶变换为

$X_{\text{STFT}}\left ( f,\tau\right )=\int_{0}^{T}x\left ( t \right )w\left ( t-\tau \right )e^{-j2\pi ft}dt\: \: \: \: \: \: \: \: \: (1)$

离散化结果

$X_{\text{STFT}}\left (m\Delta f,nT_{hop}\right )=\int_{0}^{T}x\left ( t \right )w\left ( t-nT_{hop} \right )e^{-j2\pi m\Delta ft}dt$

当窗函数 $w\left ( t \right )$ 为矩形窗时，短时傅里叶变换结果受窗长度，以及窗移动距离影响。

1.2、仿真

考虑三个单频信号，信号持续时间2s，信号起始间隔1s，幅度分别为10，20，30，频率分别为100 Hz,200 Hz,300Hz。选择不同的窗函数得到的时频图如下图所示，可以看出，窗函数为矩形窗时，时频图存在较大的旁瓣影响（由矩形窗的吉布斯效应导致）。三角形窗能明显降低旁瓣，但能存在较大旁瓣，其他窗函数都能显著降低窗函数的影响，降低旁瓣的代价是增加频率分辨率。从时频图可以看出信号分量的联合时频特征，包括信号分量的数量以及每个分量的频率以及分量起始时刻、终止时刻。

二、小波变换

2.1、公式

连续小波变换

持续时间 $T$ 的信号 $x\left ( t \right )$ 的连续小波变换为

$X_{\text{CWT}}\left ( a,b\right )=\int_{0}^{T}x\left ( t \right )\Psi ^{*}\left ( t;a,b \right )dt\: \: \: \: \: \: \: \: \: (2)$

其中 $a>0$ 表示缩放因子， $b$ 表示时延因子，式中系列函数 $\Psi \left ( t ;a,b\right )=\frac{1}{\sqrt{a}}\Psi\left ( \frac{t-b}{a} \right )$ 称为小波函数，它是由母函数 $\Psi \left ( t \right )$ 经过不同的时间尺度伸缩和不同的时间平移得到的。下图展示了短时傅里叶变换和小波变换的时频图，可以很清楚的看出，小波变换频率越低，频率分辨率越好，并且相比于短时傅里叶变换，具有更好的时间分辨性能。

离散小波变换

考虑到小波变换设计的初衷是为了保障，低频信号有较好的频率分辨率，高频分量具有较好的时间分辨率，因此可以利用带宽二等分的低通滤波器和高通滤波器对离散信号进行滤波处理，得到高频信号和低频信号，为了保障低频信号的频率分辨率，对低频信号进行相同的滤波操作，信号处理的框图如下所示。

2.2、仿真

考虑三个单频信号，信号持续时间2s，信号起始间隔1s，幅度分别为10，20，30，频率分别为10 Hz,20 Hz,40Hz，持续时间范围分别为（0-2）s、（1-3）s、（2-4）s，信号采样率1000 Hz。上图显示了短时傅里叶变换结果和小波变换结果，可以看出小波变换得到时频图具有变化的时频分辨性能，频率越低，频率分辨性能越好，频率越高，时间分辨性能越好。

相同的仿真参数下，利用离散小波变换可以将混叠信号分离出来，分离的信号如下所示，子空间1-7的频率范围分别为[500,250] Hz,[250,125] Hz,[125,125/2] Hz,[125/2,125/4] Hz,[125/4,125/8] Hz,[125/8,128/16] Hz,[125/16,125/32] Hz，理论上三个频率信号应该分别在子空间4，5，6，和实际相符。

三、S变换

3.1、公式

持续时间 $T$ 的信号 $x\left ( t \right )$ 的S变换为

$X_{\text{S}}\left ( \tau ,f \right )=\int_{0}^{T}x\left ( t \right )\frac{\left | f \right |}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\left ( t-\tau \right )^{2}f^{2}}{2}}e^{-j2\pi f t}dt\: \: \: \: \: \: \: \: \: (3)$

3.2、仿真

考虑三个单频信号，信号持续时间2s，信号起始间隔1s，幅度分别为10，20，30，频率分别为10 Hz,20 Hz,40Hz，持续时间范围分别为（0-2）s、（1-3）s、（2-4）s，信号采样率1000 Hz。从仿真结果可以看出，S变换和小波变换的时频图比较像，但S变换结果的相位相参性仍保持。

四、分数阶傅里叶变换

4.1、公式

持续时间 $T$ 的信号 $x\left ( t \right )$ 的分数阶傅里叶变换为

$X_{\text{FrFT}}\left ( \alpha ,u \right )=A_{\alpha }e^{j\pi \left (\cot \alpha \right ) u^{2}}\int_{0}^{T}x\left ( t \right )e^{j\pi \left (\cot \alpha \right ) t^{2}}e^{-j2\pi \left (\csc \alpha \right ) ut}dt\: \: \: \: \: \: \: \: \: (4)$

其中 $A_{\alpha }=\sqrt{\frac{1-j\cot\alpha }{2\pi}}$ ， $\alpha=p\frac{\pi}{2}$ ， $p$ 表示阶次， $u$ 表示分数阶傅里叶域，当阶次为1时，上式退化为傅里叶变换。

4.2、仿真

考虑单频和chirp的混合信号，单频信号频率200 Hz，Chirp信号中心频率250 Hz，调频率-30 Hz/s，信号持续3s，信号采样率1000 Hz。从时频图可以看出，两个信号时频混叠，从STFT和CW变换得到时频图很难看出两个信号分离的时频特征，而利用分数阶傅里叶变换可以很清楚的看出信号分量的数量为2，且根据峰值位置可以得到信号分量的频率和调频率参数值。