P9420 [蓝桥杯 2023 国 B] 双子数--最高效的质数筛【埃拉托斯特尼筛法】

题目

分析

首先，我们如何找到双子数？

1）找到所有质数满足范围内的质数（即至少质数^2<=23333333333333)

我们看见双子数x的范围2333<=x<=23333333333333，又因为
x = p² × q²,所以 p 和 q 的取值不能太大。代码中筛选出所有小于等于 5,000,000 的质数（这个范围足够覆盖所有可能的组合）。
2）遍历质数对
对于每一对不同的质数 p 和 q（假设 p < q），计算 p² × q²，检查是否在目标区间内。

最后我再介绍一下
介绍一下最高效的质数筛【埃拉托斯特尼筛法】

for (int i = 2; i <= sqrt(N); i++) {
		if (isprime[i] == 0) {
			//标记非质数为 1
			for (int j = i * i; j <= N; j += i)
				isprime[j] = 1;
			//这一步为埃拉托斯特尼筛法的核心步骤！
		}
	}

首先定义一个数组isprime[i]用于标记i是否为质数，不同的是，将非质数标记为1

为什么从i*i开始遍历？
比i * i 更小的 i 的倍数（例如 2* i、3* i、…、(i-1)* i）已经被之前更小的质数标记过了。例如：

当 i=5 时，25=10 已经被 i=2 循环时标记。
35=15 已经被 i=3 循环时标记。
所以第一个未被标记的 i 的倍数是 i*i=25。

为什么j+=i而不是j++?
这一步的目的是按步长 i 递增，标记所有 i 的倍数。

具体例子（以 i=5 为例）
初始时：i=5（且 i 是质数）。
标记起点：j = 5*5 = 25。
标记过程：
标记 25 为非质数 → j += 5 → 30。
标记 30 为非质数 → j += 5 → 35。
依此类推，直到 j 超过 N。

时间复杂度是 O(n log log n)，是效率最高的质数筛选算法之一！

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <queue>

#include <cctype>
using namespace std;
const int N = 5e6;
//为什么是5X10^6，因为x=p^2+q^2，当p=5e6已经能覆盖所有可能的x范围;
int isprime[N];

int prime[N];
int main() {
	//开始筛2~N中的质数【递推实现】
	for (int i = 2; i <= sqrt(N); i++) {
		if (isprime[i] == 0) {
			//标记非质数为 1
			for (int j = i * i; j <= N; j += i)
				isprime[j] = 1;
			//这一步为埃拉托斯特尼筛法的核心步骤！单独见分析
		}
	}
	//收集所有质数到prime
	int cnt = 0;
	for (int i = 2; i <= N; i++) {
		if (isprime[i] != 1)
			prime[cnt++] = i;
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i < cnt; i++) {
		long long p2 = 1LL * prime[i] * prime[i]; //计算p^2
		if (p2 * p2 > 23333333333333)
			break;
		for (int j = i + 1; j < cnt; j++) {
			long long q2 = 1LL * prime[j] * prime[j];
			long long temp = q2 * p2;
			if (temp < 2333)
				continue;//结果小了，跳过本次循环，接着往后遍历
			if (temp > 23333333333333)
				break;//结果打了，已经找到头了，终止循环
			ans++;//如果满足2333<=temp<=23333333333333，则记录答案
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}