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欧拉动力学方程的推导（持续更新）

news 来源：原创 2025/5/19 13:58:17

前言：

一、叉乘的数学知识

1.两个向量叉乘

2.矩阵和向量叉乘

3.向量和矩阵叉乘

二、刚体动力学下的欧拉方程

前言：

这两天在看”Thrust Mixing, Saturation, and Body-Rate Control for Accurate

Aggressive Quadrotor Flight“这篇论文的时候，他给出无人机的动力学模型，对于欧拉动力学方程我不是很理解，所以在网上搜索了相关资料，现在在这里记录一下。

参考链接： https://www.zhihu.com/question/327324524/answer/3405589606

一、叉乘的数学知识

1.两个向量叉乘

豆包生成的。

2.矩阵和向量叉乘

3.向量和矩阵叉乘

之后将这三行加起来，得到一个向量。

二、刚体动力学下的欧拉方程

1. 角动量公式

其中H代表角动量，I是一个3×3的惯性矩阵，w代表角速度，是一个三维列向量。

2.对角动量求导即为力矩

对角动量求导，则可得出

3.上式等式右边的第二项无需再化简，第一项需进一步处理。首先考虑惯性张量：

这个需要考虑一下，

$\boldsymbol{I}=\sum_{i}\sum_{j}I_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j^T$

4.对惯性张量求导，运用链式法则：

$\dot{\boldsymbol{I}}=\sum_i\sum_j(\dot{I_{ij}}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j^T+I_{ij}\dot{\boldsymbol{e}}_i\boldsymbol{e}_j^T+I_{ij}\boldsymbol{e}_i\dot{\boldsymbol{e}}_j^T)$

5.一般认为惯性张量的各分量不会发生变化， $\dot{I_{ij}}=0$ ，对于这个ei和ej来说，它们是机体坐标系的各轴的单位向量，他们的变化率等于此时觉得角速度叉乘他们，这个公式，想一下很有道理，因为当角速度和这个单位向量很近的时候，那么这个单位向量就不转，这个容易直观的理解。负号是ej的叉乘顺序变了所有得到的。

$\dot{\boldsymbol{I}}=\sum\sum(I_{ij}\dot{\boldsymbol{e}}_i\boldsymbol{e}_j^T+I_{ij}\boldsymbol{e}_i\dot{\boldsymbol{e}}_j^T)=\sum\sum(I_{ij}(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{e}_i)\boldsymbol{e}_j^T - I_{ij}\boldsymbol{e}_i(\boldsymbol{e}_j^T\times\boldsymbol{\omega}))$