力扣每日一刷Day 25

Practice Day twenty five：Leetcode T365

好了兄弟姐妹们，今天让我们学习一下肥鼠定理（贝祖定理/裴蜀定理）。今天就不给你们可视化了，这个还是比较简单。

贝祖定理（Bézout's Identity）是数论中一个非常重要的定理，它描述了两个整数的线性组合与它们的最大公约数之间的关系。

贝祖定理的表述：

对于任意两个整数 a 和 b（不同时为 0），存在整数 x 和 y，使得：

ax+by=gcd(a,b)

其中：

• gcd(a, b) 是 a 和 b 的最大公约数。
• x 和 y 是满足等式的整数。

示例 ：

设 a = 12, b = 18

• gcd(12, 18) = 6
• 找到整数 x 和 y 使得：

  12x+18y=6

尝试解这个方程：

• 取 x = -1, y = 1，则：

  12×(−1)+18×1=−12+18=6

贝祖定理的含义：

贝祖定理告诉我们：

• 任何两个整数的线性组合（如 ax + by）都一定是它们的最大公约数的倍数。
• 反过来，最大公约数 d = gcd(a, b) 也是所有形如 ax + by 的最小正整数。

应用场景：

1. 求解线性不定方程（如 ax + by = c）

   如果 c 是 gcd(a, b) 的倍数，则有解。

2. 密码学（如 RSA 算法）

   在模逆元计算中需要用到贝祖定理。

3. 数论问题

   判断某个数是否能表示为两个数的线性组合。

好了，我们来拆解一下题目，看看他要搞什么飞机

题目条件：数字一、数字二、数字一和数字二之间可加减得到新数字、目标数字

题目目的：判断是否可以利用上述数字组合成目标数字

道理就是上面肥鼠定理的道理，我们直接上代码

class Solution {
public:bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {if (x + y < z) {return false;}if (x == 0 || y == 0) {return z == 0 || x + y == z;}return z % gcd(x, y) == 0;}
};

九行代码结束战斗

1 第一个条件判断：

if (x + y < z) {return false;
}

• 如果两个水壶的总容量都小于 z，那无论如何都无法得到 z 升水，直接返回 false。

感到奇怪？认为一个水壶可以装多次水，可以多次叠加叠至所需容量的。但问题在于：你只有两个水壶，没有第三个容器。所以这个判断是成立的。

2  第二个条件判断：

if (x == 0 || y == 0) {return z == 0 || x + y == z;
}

• 如果其中一个水壶容量为 0（比如 x = 0 或 y = 0），那么只能通过另一个水壶来获得水。
• 此时：
  • 如果 z == 0，可以成功（不装水）。
  • 如果 z == x + y，也可以成功（将另一个水壶装满）。
  • 否则不能。

3 核心逻辑：

return z % gcd(x, y) == 0;

• 这是贝祖定理（Bézout's Identity）的应用。
• 它表示：如果 z 是 x 和 y 的线性组合（即存在整数 a 和 b 使得 ax + by = z），并且 z <= x + y（这在前面的if已经验证过了），那么就可以实现。

 关键点：

我是真的没有料到，但

gcd(x, y) 是 C++17 标准中引入的函数，用于计算两个整数的最大公约数（Greatest Common Divisor）。

• 只有当 z 是 gcd(x, y) 的倍数时，才能被表示为 x 和 y 的线性组合。
• 所以，只要 z % gcd(x, y) == 0，就说明可以完成目标。
• 这越过了倒水装水的过程，直达终点，流程被极致简化

今天到此结束，数学题真是又难又简单啊