深度学习（十）：逻辑回归的代价函数

逻辑回归（Logistic Regression）是机器学习中最基础也是最经典的分类算法之一，它在深度学习的早期发展中扮演了重要角色，并且至今仍然是许多神经网络模型（特别是二分类问题）最后一层的核心组成部分。

逻辑回归：从线性模型到概率分类

逻辑回归虽然名字里带有“回归”二字，但它本质上是一种分类算法，专门用于处理二分类问题（例如：判断邮件是否为垃圾邮件、图片中是否包含猫）。

它在数学上的核心思想是：首先，像线性回归一样，通过一个线性方程对输入特征进行加权求和：

其中，z 是一个线性分数，w 是权重，x 是输入特征，b 是偏置项。

然后，它将这个线性结果 z 映射到 0 到 1 之间的一个概率值，这通过一个特殊的非线性激活函数——Sigmoid 函数来实现：

Sigmoid 函数将任意实数 z 压缩到 (0,1) 区间内。这个输出 σ(z) 可以被解释为样本属于正类别（例如：类别 1）的预测概率。

代价函数：衡量模型预测的好坏

在任何机器学习模型中，我们都需要一个**代价函数（Cost Function）或损失函数（Loss Function）**来量化模型预测的“好坏”。这个函数值越小，代表模型的预测越接近真实标签，模型表现越好。训练模型的过程，就是通过优化算法（如梯度下降）来不断调整权重 w 和偏置 b，以最小化这个代价函数。

对于逻辑回归，我们不能使用像线性回归中那样的均方误差（MSE），因为 Sigmoid 函数的非线性特性会导致 MSE 变得非凸（Non-Convex），拥有多个局部最小值，使得梯度下降难以找到全局最优解。

为了解决这个问题，逻辑回归引入了**交叉熵（Cross-Entropy）**作为其代价函数。

交叉熵损失：从信息论到分类损失

交叉熵源于信息论，用于衡量两个概率分布之间的差异。在逻辑回归中，它被巧妙地用来衡量模型的预测概率分布（y^）与真实的标签分布（y）之间的差异。

对于单个样本，逻辑回归的交叉熵损失函数定义如下：

其中：

• y 是样本的真实标签，对于二分类问题，y 的值是 0 或 1。
• y^ 是模型的预测概率，即 y^=σ(z)。

这个公式看起来复杂，但我们可以分情况来理解：

• 当真实标签 y=1 时： 损失函数变为 L=−log(y^)。 如果模型预测概率 y^ 接近 1（预测正确），则 log(y^) 接近 0，损失 L 接近 0。 如果模型预测概率 y^ 接近 0（预测错误），则 log(y^) 接近 −∞，损失 L 接近 +∞。
• 当真实标签 y=0 时： 损失函数变为 L=−log(1−y^)。 如果模型预测概率 y^ 接近 0（预测正确），则 1−y^ 接近 1，损失 L 接近 0。 如果模型预测概率 y^ 接近 1（预测错误），则 1−y^ 接近 0，损失 L 接近 +∞。

可以看出，交叉熵损失函数完美地惩罚了错误的、高置信度的预测。如果模型对错误的类别给出了很高的预测概率，损失就会变得非常大，从而在梯度下降过程中产生巨大的梯度，促使模型快速修正其参数。

整个训练集上的总代价函数是所有样本损失的平均值：

其中 m 是样本总数。

交叉熵损失的优点与在深度学习中的应用

交叉熵损失函数之所以成为分类问题中的首选，是因为它具备以下关键优点：

• 凸性（Convexity）：对于逻辑回归模型，交叉熵损失函数是凸函数，这意味着它只有一个全局最小值，没有任何局部最小值。这确保了梯度下降等优化算法可以稳定地收敛到全局最优解，而不是卡在某个局部最优解中。
• 梯度特性：交叉熵的梯度非常平滑，尤其是在误差很大的时候，梯度也很大，这加速了训练过程。当误差很小时，梯度也随之减小，有助于模型平稳收敛。