磁共振成像原理（理论）8：射频回波 (RF Echoes)-三脉冲回波（1）

${\alpha }_1-{\tau }_1-{\alpha }_2-{\tau }_2-{\alpha }_3$ 三脉冲回波 ( Three-Pulse Echoes)

下面定义了通用的三脉冲序列，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$: 三个任意角度的射频脉冲，${\tau }_1,{\tau }_2$: 两个时间间隔
$${\alpha }_1-{\tau }_1-{\alpha }_2-{\tau }_2-{\alpha }_3\text{\hspace{1em}(4.36)}$$

该序列最多可产生五个回波：三个常规自旋回波 (SE)、一个次级自旋回波 (SSE)和一个受激回波(STE)，如下图所示：

忽略脉冲大小和回波的大小，我们得到如下脉冲和回波的时序图

其中：

• SE1 (第一自旋回波): 由脉冲 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 产生，位于 $t=2{\tau }_1$，如下图所示， ${\alpha }_1$脉冲的FID信号由 ${\alpha }_2$ 镜像到SE1。该回波正是式子（4.29）中的第一项。
  

• SE2 (第二自旋回波): 由脉冲 ${\alpha }_2$ 和 ${\alpha }_3$ 产生，位于 $t={\tau }_1+2{\tau }_2$，如下图所示， ${\alpha }_2$ 脉冲的FID信号由 ${\alpha }_3$ 镜像到SE2。该回波正是式子（4.29）中的第三项，它被第三个脉冲翻转后又重新聚相了。
  

• SE3 (第三自旋回波): 由脉冲 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_3$ 产生，位于 $t=2({\tau }_1+{\tau }_2)$，如下图所示， ${\alpha }_1$ 脉冲的FID信号由 ${\alpha }_3$ 镜像到SE3。该回波正是式子（4.29）中的第二项，它被第三个脉冲翻转后又重新聚相了。
  

• 次级回波 (Secondary Echo): 当 ${\tau }_2>2{\tau }_1$ 时，第一个回波 (SE1) 发生在第二和第三脉冲之间。第三个脉冲 (${\alpha }_3$) 会“镜像”这个已存在的 SE1 信号，从而在 $t=2{\tau }_2$ 时刻（即第三脉冲后 ${\tau }_2-{\tau }_1$ 时刻）产生一个次级回波，如下图所示。该回波正是式子（4.29）中的第一项（SE1），它被第三个脉冲翻转后又重新聚相了。
  

• 受激回波 (Stimulated Echo, STE): 由所有三个脉冲 (${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$) 共同作用产生。其独特之处在于，第二部分磁化在 ${\tau }_2$ 期间是以纵向磁化的形式存在的，因此其信号幅度的衰减主要受较慢的 $T_1$ 弛豫影响，而非较快的 $T_2$ 弛豫，如下图所示：
  

三个SE和1个SSE都比较容易理解，他们都是基于受激后的FID信号被后续的脉冲信号的镜像产生的回波。但是受激回波STE的产生机理比较特殊，为清晰理解受激回波的发生过程，我们暂设 ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3=90^{\circ }$。第一个脉冲后，平衡磁化矢量 $M_z^0$ 被完全翻转至横向平面。如果 ${\tau }_1$ 在 $T_2$ 量级或更短，则在 ${\tau }_1$ 时刻我们仍会有可观的横向磁化矢量。因此，第二个 $90^{\circ }$ 脉冲，除了会诱发第一个自旋回波（SE）外，还会产生一个纵向磁化矢量。在第二个脉冲之后的 ${\tau }_2$ 期间，这部分磁化矢量被“存储”在 $z^{\prime }$ 轴上，同时经历纵向弛豫过程。在 ${\tau }_2$ 间隔结束时施加的第三个 $90^{\circ }$ 脉冲，又将这部分存储的纵向磁化矢量重新旋转回横向平面。由于等色团的固有属性并未被这些磁化矢量的复杂变换所改变，它们在第三个脉冲后将以与第二个脉冲前相同的速率和方向进动。此外，这部分磁化矢量仅在 ${\tau }_1$ 期间受到磁场不均匀性的影响。因此，这些等色团矢量间的相长干涉将在第三个脉冲后的 $t={\tau }_1$ 时刻达到最大值，受激回波由此形成。

下面来完整的推导一遍，先来推导第二个脉冲后的横向和纵向的磁化分量演变：

$t>{\tau }_{1+}$：磁化分量

**$t>{\tau }_{1+}$：横向磁化分量

公式（4.29）描述了在双脉冲序列(${\alpha }_1-{\tau }_1-{\alpha }_2$)中，第二个脉冲${\alpha }_2$施加后 ($t>{\tau }_{1+}$) 横向磁化分量，将其重写如下（将之前双脉冲的时间间隔$\tau \to {\tau }_1$）：
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\omega ,t)=& M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-t/T_2}{e}^{-i\omega (t-2{\tau }_1)}\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-t/T_2}{e}^{-i\omega t}\\ & -M_z^0(\omega )\left[1-\left(1-\cos {\alpha }_1\right)e^{-{\tau }_1/T_1}\right]\sin {\alpha }_2{e}^{-(t-{\tau }_1)/T_2}{e}^{-i\omega (t-{\tau }_1)}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.37a)}$$

**$t>{\tau }_{1+}$：纵向磁化分量

公式 (4.25b) 描述了在双脉冲序列 (${\alpha }_1-{\tau }_1-{\alpha }_2$) 中，第二个脉冲 (${\alpha }_2$) 施加后瞬间 ($t={\tau }_{1+}$) 的纵向磁化分量，，将其重写如下（将之前双脉冲的时间间隔$\tau \to {\tau }_1$）：
$$\begin{array}{rl}{M}_{z^{\prime }}\left(\omega ,{\tau }_{1+}\right)=& M_z^0(\omega )\left[1-\left(1-\cos {\alpha }_1\right)e^{-{\tau }_1/T_1}\right]\cos {\alpha }_2\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\cos \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}\end{array}$$

为简化后续推导，我们将其写为两项之和：
$$M_{z^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{1+})=A-B$$
其中：

• $A=M_z^0(\omega )\left[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-{\tau }_1/T_1}\right]\cos {\alpha }_2$
• $B=M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\cos \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}$

公式 (4.23) 描述了在自由进动（无射频脉冲）期间，磁化矢量随时间的演化重写如下：
$$\left[\begin{array}{c}{M}_{x^{\prime }}(0)\\ M_{y^{\prime }}(0)\\ M_{z^{\prime }}(0)\end{array}\right]\stackrel{\tau }{⟶}\left[\begin{array}{c}{M}_{x^{\prime }}(\tau )\\ M_{y^{\prime }}(\tau )\\ M_{z^{\prime }}(\tau )\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(M_{x^{\prime }}(0)\cos \omega \tau +M_{y^{\prime }}(0)\sin \omega \tau )e^{-\tau /T_2}\\ (-M_{x^{\prime }}(0)\sin \omega \tau +M_{y^{\prime }}(0)\cos \omega \tau )e^{-\tau /T_2}\\ M_z^0(1-e^{-\tau /T_1})+M_{z^{\prime }}(0)e^{-\tau /T_1}\end{array}\right]$$

其纵向分量 ($M_{z^{\prime }}$) 的演化规则为：
$$M_{z^{\prime }}\stackrel{\Delta t}{\to }{M}_z^0\left(1-e^{-\Delta t/T_1}\right)+M_{z^{\prime }}{e}^{-\Delta t/T_1}$$

在我们的问题中，演化时间 $\Delta t=t-{\tau }_1$（从第二个脉冲结束开始计时）。

我们将初始条件 $M_{z^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{1+})$ 作为起点，应用上述演化规则，计算其演化到任意时刻 $t>{\tau }_1$ 的结果：
$$\begin{array}{rl}{M}_{z^{\prime }}(\omega ,t)& =M_z^0(\omega )\left(1-e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\right)+M_{z^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{1+})e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\\ & =M_z^0(\omega )\left(1-e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\right)+(A-B)e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\\ & =M_z^0(\omega )\left(1-e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\right)+A\cdot e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}-B\cdot e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\end{array}$$

将 $A$ 和 $B$ 的具体表达式代入：
$$\begin{array}{rl}{M}_{z^{\prime }}(\omega ,t)=& M_z^0(\omega )\left(1-e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\right)\\ & +\left\{M_z^0(\omega )\left[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-{\tau }_1/T_1}\right]\cos {\alpha }_2\right\}{e}^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\\ & -\left\{M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\cos \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}\right\}{e}^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\end{array}$$

展开括号并合并同类项：
$$\begin{array}{rl}{M}_{z^{\prime }}(\omega ,t)=& M_z^0(\omega )\\ & -M_z^0(\omega )e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\\ & +M_z^0(\omega )\cos {\alpha }_2{e}^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\\ & -M_z^0(\omega )\cos {\alpha }_2(1-\cos {\alpha }_1)e^{-{\tau }_1/T_1}{e}^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\cos \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}{e}^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\end{array}$$

进行合并，并重新排列各项的顺序：
$$\begin{array}{rl}{M}_{z^{\prime }}(\omega ,t)=& M_z^0(\omega )\\ & -M_z^0(\omega )(1-\cos {\alpha }_2)e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\\ & -M_z^0(\omega )(1-\cos {\alpha }_1)\cos {\alpha }_2{e}^{-t/T_1}\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\cos \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}{e}^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\end{array}$$

最后，将前三项合并到一个括号内，即可得到最终的公式 (4.37b)，即第二个脉冲${\alpha }_2$施加后 ($t>{\tau }_{1+}$) 纵向磁化分量：
$$\begin{array}{rl}{M}_{z^{\prime }}(\omega ,t)=& M_z^0(\omega )\left[1-\left(1-\cos {\alpha }_2\right)e^{-(t-{\tau }_1)/T_1}-\left(1-\cos {\alpha }_1\right)\cos {\alpha }_2{e}^{-t/T_1}\right]\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\cos \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}{e}^{-(t-{\tau }_1)/T_1}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.37b)}$$
其中$-M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\cos \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}{e}^{-(t-{\tau }_1)/T_1}$：包含了相位项，此项是形成受激回波的关键，因为它编码了频率信息 ($\cos \omega {\tau }_1$) 并以纵向磁化的形式“存储”起来，其衰减受 $T_1$ 主导。这使得这部分的分量被很大程度的保留下来，因为$T_2<<T_1$。

$t={\tau }_1+{\tau }_2$：磁化分量

下面用个办法推导在$t={\tau }_1+{\tau }_2$时刻的$x^{\prime },y^{\prime }$方向磁化分量：

**$t={\tau }_1+{\tau }_2$：$x^{\prime },y^{\prime }$方向磁化分量方法一

从（4.37a）反向推导，这也是教材中采用的办法，只是这样推导出来和教材中的有个符号的差别。首先是将**$t={\tau }_1+{\tau }_2$代入（4.37a）可得：
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\omega ,{\tau }_1+{\tau }_2)=& M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-({\tau }_1+{\tau }_2)/T_2}{e}^{-i\omega (({\tau }_1+{\tau }_2)-2{\tau }_1)}\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-({\tau }_1+{\tau }_2)/T_2}{e}^{-i\omega ({\tau }_1+{\tau }_2))}\\ & -M_z^0(\omega )\left[1-\left(1-\cos {\alpha }_1\right)e^{-{\tau }_1/T_1}\right]\sin {\alpha }_2{e}^{-({\tau }_1+{\tau }_2)-{\tau }_1)/T_2}{e}^{-i\omega (({\tau }_1+{\tau }_2)-{\tau }_1)}\\ & \\ =& M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-({\tau }_1+{\tau }_2)/T_2}{e}^{-i\omega ({\tau }_2-{\tau }_1)}\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-({\tau }_1+{\tau }_2)/T_2}{e}^{-i\omega ({\tau }_1+{\tau }_2))}\\ & -M_z^0(\omega )\left[1-\left(1-\cos {\alpha }_1\right)e^{-{\tau }_1/T_1}\right]\sin {\alpha }_2{e}^{-(2{\tau }_1+{\tau }_2))/T_2}{e}^{-i\omega ({\tau }_2)}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.37a)}$$

利用欧拉公式
$$\begin{array}{rl}{e}^{-i\omega \tau }& =\cos \omega \tau -i\sin \omega \tau \\ e^{i\omega \tau }& =\cos \omega \tau +i\sin \omega \tau \end{array}$$

将$M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\omega ,{\tau }_1+{\tau }_2)$展开为复数形式
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\omega ,{\tau }_1+{\tau }_2)& =\\ & M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-({\tau }_1+{\tau }_2)/T_2}[\cos \omega ({\tau }_2-{\tau }_1)-i\sin \omega ({\tau }_2-{\tau }_1)]\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-({\tau }_1+{\tau }_2)/T_2}[\cos \omega ({\tau }_2+{\tau }_1)-i\sin \omega ({\tau }_2+{\tau }_1)]\\ & -M_z^0(\omega )\left[1-\left(1-\cos {\alpha }_1\right)e^{-{\tau }_1/T_1}\right]\sin {\alpha }_2{e}^{-(2{\tau }_1+{\tau }_2))/T_2}{e}^{-i\omega ({\tau }_2)}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.37a)}$$

其中实数部分为$x^{\prime }$方向磁化分量:
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }}(\omega ,{\tau }_1+{\tau }_2)=& M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-({\tau }_1+{\tau }_2)/T_2}\cos \omega ({\tau }_2-{\tau }_1)\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-({\tau }_1+{\tau }_2)/T_2}\cos \omega ({\tau }_2+{\tau }_1)\\ & -M_z^0(\omega )\left[1-\left(1-\cos {\alpha }_1\right)e^{-{\tau }_1/T_1}\right]\sin {\alpha }_2{e}^{-(2{\tau }_1+{\tau }_2))/T_2}{e}^{-i\omega ({\tau }_2)}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.38)}$$

其中虚数部分为$y^{\prime }$方向磁化分量:
$$\begin{array}{rl}{M}_{y^{\prime }}(\omega ,{\tau }_1+{\tau }_2)=& M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}\sin \omega \left({\tau }_1+{\tau }_2\right)e^{-\left({\tau }_1+{\tau }_2\right)/T_2}\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}\sin \omega \left({\tau }_2-{\tau }_1\right)e^{-\left({\tau }_1+{\tau }_2\right)/T_2}\\ & +M_z^0(\omega )\left[1-\left(1-\cos {\alpha }_1\right)e^{-{\tau }_1/T_1}\right]\sin {\alpha }_2\sin \omega {\tau }_2{e}^{-{\tau }_2/T_2}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.39)}$$

**$t={\tau }_1+{\tau }_2$：$x^{\prime },y^{\prime }$方向磁化分量方法二

从式（4.26）和式（4.27）正向推导。

公式 (4.26) 描述了在双脉冲序列 (${\alpha }_1-{\tau }_1-{\alpha }_2$) 中，第二个脉冲 (${\alpha }_2$) 施加后瞬间 ($t={\tau }_{1+}$) 的$x^{\prime }$方向磁化分量，，将其重写如下（将之前双脉冲的时间间隔$\tau \to {\tau }_1$）：
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{1+})& =-M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}\cos \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}\\ & +M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}\cos \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}\\ & -M_z^0(\omega )[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-{\tau }_1/T_1}]\sin {\alpha }_2\end{array}$$

公式 (4.27) 描述了在双脉冲序列 (${\alpha }_1-{\tau }_1-{\alpha }_2$) 中，第二个脉冲 (${\alpha }_2$) 施加后瞬间 ($t={\tau }_{1+}$) 的$y^{\prime }$方向磁化分量，将其重写如下（将之前双脉冲的时间间隔$\tau \to {\tau }_1$）：
$$\begin{array}{rl}{M}_{y^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{1+})& =M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}\sin \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}\\ & +M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}\sin \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}\end{array}$$

经过 ${\tau }_2$ 延迟后（应用4.23），$x^{\prime }$磁化分量演化为：
Mx′(ω,τ1+τ2)=[Mx′(ω,τ1+)cos⁡ωτ2+My′(ω,τ1+)sin⁡ωτ2]e−τ2/T2={−Mz0(ω)sin⁡α1cos⁡2α22cos⁡ωτ1e−τ1/T2+Mz0(ω)sin⁡α1sin⁡2α22cos⁡ωτ1e−τ1/T2−Mz0(ω)[1−(1−cos⁡α1)e−τ1/T1]sin⁡α2}⋅cos⁡ωτ2⋅e−τ2/T2+{Mz0(ω)sin⁡α1cos⁡2α22sin⁡ωτ1e−τ1/T2+Mz0(ω)sin⁡α1sin⁡2α22sin⁡ωτ1e−τ1/T2}⋅sin⁡ωτ2e−τ2/T2=−Mz0(ω)sin⁡α1cos⁡2α22e−(τ1+τ2)/T2[cos⁡ωτ1cos⁡ωτ2−sin⁡ωτ1sin⁡ωτ2]+Mz0(ω)sin⁡α1sin⁡2α22e−(τ1+τ2)/T2[cos⁡ωτ1cos⁡ωτ2+sin⁡ωτ1sin⁡ωτ2]−Mz0(ω)[1−(1−cos⁡α1)e−τ1/T1]sin⁡α2cos⁡ωτ2e−τ2/T2=−Mz0(ω)sin⁡α1cos⁡2α22e−(τ1+τ2)/T2cos⁡ω(τ1+τ2)+Mz0(ω)sin⁡α1sin⁡2α22e−(τ1+τ2)/T2cos⁡ω(τ1−τ2)−Mz0(ω)[1−(1−cos⁡α1)e−τ1/T1]sin⁡α2cos⁡ωτ2e−τ2/T2 \begin{align*} M_{x^{\prime}}(\omega, \tau_1 + \tau_2) &=[\textcolor{red}{M_{x^{\prime}}(\omega,\tau_{1+})}\cos\omega\tau_{2} + \textcolor{blue}{M_{y^{\prime}}(\omega,\tau_{1+})}\sin\omega\tau_{2}]e^{-\tau_{2}/T_{2}}\\ &=\{\textcolor{red}{-M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\cos^{2}\frac{\alpha_{2}}{2} \cos\omega\tau_{1} e^{-\tau_{1}/T_{2}}} \\ &\quad \textcolor{red}{+ M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\sin^{2}\frac{\alpha_{2}}{2} \cos\omega\tau_{1} e^{-\tau_{1}/T_{2}}} \\ &\quad \textcolor{red}{- M_{z}^{0}(\omega)[1 - (1 - \cos\alpha_{1})e^{-\tau_{1}/T_{1}}] \sin\alpha_{2}}\} \cdot \cos\omega\tau_{2} \cdot e^{-\tau_{2}/T_{2}} \\ &\quad+\{\textcolor{blue}{M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\cos^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}\sin\omega\tau_{1} e^{-\tau_{1}/T_{2}}}\\ &\quad\textcolor{blue}{+M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\sin^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}\sin\omega\tau_{1} e^{-\tau_{1}/T_{2}}}\} \cdot \sin\omega\tau_{2}e^{-\tau_{2}/T_{2}}\\ \\ &=-M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\cos^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}e^{-(\tau_{1}+\tau_{2})/T_{2}}[\cos\omega\tau_{1}\cos\omega\tau_{2}-\sin\omega\tau_{1}\sin\omega\tau_{2}]\\ &\quad+M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\sin^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}e^{-(\tau_{1}+\tau_{2})/T_{2}}[\cos\omega\tau_{1}\cos\omega\tau_{2}+\sin\omega\tau_{1}\sin\omega\tau_{2}]\\ &\quad {- M_{z}^{0}(\omega)[1 - (1 - \cos\alpha_{1})e^{-\tau_{1}/T_{1}}] \sin\alpha_{2}} \cos\omega\tau_{2}e^{-\tau_{2}/T_{2}} \\ \\ &=-M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\cos^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}e^{-(\tau_{1}+\tau_{2})/T_{2}}\cos\omega(\tau_{1}+\tau_{2})\\ &\quad+M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\sin^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}e^{-(\tau_{1}+\tau_{2})/T_{2}}\cos\omega(\tau_{1}-\tau_{2})\\ &\quad {- M_{z}^{0}(\omega)[1 - (1 - \cos\alpha_{1})e^{-\tau_{1}/T_{1}}] \sin\alpha_{2}} \cos\omega\tau_{2}e^{-\tau_{2}/T_{2}} \\ \end{align*} Mx′​(ω,τ1​+τ2​)​=[Mx′​(ω,τ1+​)cosωτ2​+My′​(ω,τ1+​)sinωτ2​]e−τ2​/T2​={−Mz0​(ω)sinα1​cos22α2​​cosωτ1​e−τ1​/T2​+Mz0​(ω)sinα1​sin22α2​​cosωτ1​e−τ1​/T2​−Mz0​(ω)[1−(1−cosα1​)e−τ1​/T1​]sinα2​}⋅cosωτ2​⋅e−τ2​/T2​+{Mz0​(ω)sinα1​cos22α2​​sinωτ1​e−τ1​/T2​+Mz0​(ω)sinα1​sin22α2​​sinωτ1​e−τ1​/T2​}⋅sinωτ2​e−τ2​/T2​=−Mz0​(ω)sinα1​cos22α2​​e−(τ1​+τ2​)/T2​[cosωτ1​cosωτ2​−sinωτ1​sinωτ2​]+Mz0​(ω)sinα1​sin22α2​​e−(τ1​+τ2​)/T2​[cosωτ1​cosωτ2​+sinωτ1​sinωτ2​]−Mz0​(ω)[1−(1−cosα1​)e−τ1​/T1​]sinα2​cosωτ2​e−τ2​/T2​=−Mz0​(ω)sinα1​cos22α2​​e−(τ1​+τ2​)/T2​cosω(τ1​+τ2​)+Mz0​(ω)sinα1​sin22α2​​e−(τ1​+τ2​)/T2​cosω(τ1​−τ2​)−Mz0​(ω)[1−(1−cosα1​)e−τ1​/T1​]sinα2​cosωτ2​e−τ2​/T2​​
此式和(4.38)一样，证明推导过程是正确的。

经过 ${\tau }_2$ 延迟后（应用4.23），$y^{\prime }$磁化分量演化为：
My′(ω,τ1+τ2)=[−Mx′(ω,τ1+)sin⁡ωτ2+My′(ω,τ1+)cos⁡ωτ2]e−τ2/T2={Mz0(ω)sin⁡α1cos⁡2α22cos⁡ωτ1e−τ1/T2−Mz0(ω)sin⁡α1sin⁡2α22cos⁡ωτ1e−τ1/T2+Mz0(ω)[1−(1−cos⁡α1)e−τ1/T1]sin⁡α2}⋅sin⁡ωτ2⋅e−τ2/T2+{Mz0(ω)sin⁡α1cos⁡2α22sin⁡ωτ1e−τ1/T2+Mz0(ω)sin⁡α1sin⁡2α22sin⁡ωτ1e−τ1/T2}⋅cos⁡ωτ2e−τ2/T2=Mz0(ω)sin⁡α1cos⁡2α22e−(τ1+τ2)/T2[cos⁡ωτ1sin⁡ωτ2+sin⁡ωτ1cos⁡ωτ2]−Mz0(ω)sin⁡α1sin⁡2α22e−(τ1+τ2)/T2[cos⁡ωτ1sin⁡ωτ2−sin⁡ωτ1cos⁡ωτ2]Mz0(ω)[1−(1−cos⁡α1)e−τ1/T1]sin⁡α2sin⁡ωτ2e−τ2/T2=Mz0(ω)sin⁡α1cos⁡2α22e−(τ1+τ2)/T2sin⁡ω(τ1+τ2)−Mz0(ω)sin⁡α1sin⁡2α22e−(τ1+τ2)/T2sin⁡ω(τ1−τ2)Mz0(ω)[1−(1−cos⁡α1)e−τ1/T1]sin⁡α2sin⁡ωτ2e−τ2/T2 \begin{align*} M_{y^{\prime}}(\omega, \tau_1 + \tau_2) &=[\textcolor{red}{-M_{x^{\prime}}(\omega,\tau_{1+})}\sin\omega\tau_{2} + \textcolor{blue}{M_{y^{\prime}}(\omega,\tau_{1+})}\cos\omega\tau_{2}]e^{-\tau_{2}/T_{2}}\\ &=\{\textcolor{red}{M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\cos^{2}\frac{\alpha_{2}}{2} \cos\omega\tau_{1} e^{-\tau_{1}/T_{2}}} \\ &\quad \textcolor{red}{- M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\sin^{2}\frac{\alpha_{2}}{2} \cos\omega\tau_{1} e^{-\tau_{1}/T_{2}}} \\ &\quad \textcolor{red}{+ M_{z}^{0}(\omega)[1 - (1 - \cos\alpha_{1})e^{-\tau_{1}/T_{1}}] \sin\alpha_{2}}\} \cdot \sin\omega\tau_{2} \cdot e^{-\tau_{2}/T_{2}} \\ &\quad+\{\textcolor{blue}{M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\cos^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}\sin\omega\tau_{1} e^{-\tau_{1}/T_{2}}}\\ &\quad\textcolor{blue}{+M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\sin^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}\sin\omega\tau_{1} e^{-\tau_{1}/T_{2}}}\} \cdot \cos\omega\tau_{2}e^{-\tau_{2}/T_{2}}\\ \\ &=M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\cos^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}e^{-(\tau_{1}+\tau_{2})/T_{2}}[\cos\omega\tau_{1}\sin\omega\tau_{2}+\sin\omega\tau_{1}\cos\omega\tau_{2}]\\ &\quad-M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\sin^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}e^{-(\tau_{1}+\tau_{2})/T_{2}}[\cos\omega\tau_{1}\sin\omega\tau_{2}-\sin\omega\tau_{1}\cos\omega\tau_{2}]\\ &\quad {M_{z}^{0}(\omega)[1 - (1 - \cos\alpha_{1})e^{-\tau_{1}/T_{1}}] \sin\alpha_{2}} \sin\omega\tau_{2}e^{-\tau_{2}/T_{2}} \\ \\ &=M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\cos^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}e^{-(\tau_{1}+\tau_{2})/T_{2}}\sin\omega(\tau_{1}+\tau_{2})\\ &\quad-M_{z}^{0}(\omega)\sin\alpha_{1}\sin^{2}\frac{\alpha_{2}}{2}e^{-(\tau_{1}+\tau_{2})/T_{2}}\sin\omega(\tau_{1}-\tau_{2})\\ &\quad {M_{z}^{0}(\omega)[1 - (1 - \cos\alpha_{1})e^{-\tau_{1}/T_{1}}] \sin\alpha_{2}} \sin\omega\tau_{2}e^{-\tau_{2}/T_{2}} \\ \end{align*} My′​(ω,τ1​+τ2​)​=[−Mx′​(ω,τ1+​)sinωτ2​+My′​(ω,τ1+​)cosωτ2​]e−τ2​/T2​={Mz0​(ω)sinα1​cos22α2​​cosωτ1​e−τ1​/T2​−Mz0​(ω)sinα1​sin22α2​​cosωτ1​e−τ1​/T2​+Mz0​(ω)[1−(1−cosα1​)e−τ1​/T1​]sinα2​}⋅sinωτ2​⋅e−τ2​/T2​+{Mz0​(ω)sinα1​cos22α2​​sinωτ1​e−τ1​/T2​+Mz0​(ω)sinα1​sin22α2​​sinωτ1​e−τ1​/T2​}⋅cosωτ2​e−τ2​/T2​=Mz0​(ω)sinα1​cos22α2​​e−(τ1​+τ2​)/T2​[cosωτ1​sinωτ2​+sinωτ1​cosωτ2​]−Mz0​(ω)sinα1​sin22α2​​e−(τ1​+τ2​)/T2​[cosωτ1​sinωτ2​−sinωτ1​cosωτ2​]Mz0​(ω)[1−(1−cosα1​)e−τ1​/T1​]sinα2​sinωτ2​e−τ2​/T2​=Mz0​(ω)sinα1​cos22α2​​e−(τ1​+τ2​)/T2​sinω(τ1​+τ2​)−Mz0​(ω)sinα1​sin22α2​​e−(τ1​+τ2​)/T2​sinω(τ1​−τ2​)Mz0​(ω)[1−(1−cosα1​)e−τ1​/T1​]sinα2​sinωτ2​e−τ2​/T2​​

此式和(4.39)一样，证明推导过程是正确的。

总结：我们用两种方式分别验证了$t={\tau }_1+{\tau }_2$：$x^{\prime },y^{\prime }$方向磁化分量

**$t={\tau }_1+{\tau }_2$：$z^{\prime }$方向磁化分量

$z^{\prime }$方向磁化分量:
$$\begin{array}{rl}{M}_{z^{\prime }}(\omega ,& {\tau }_1+{\tau }_2)\\ =& M_z^0(\omega )\left[1-\left(1-\cos {\alpha }_2\right)e^{-{\tau }_2/T_1}-\left(1-\cos {\alpha }_1\right)\cos {\alpha }_2{e}^{-\left({\tau }_1+{\tau }_2\right)/T_1}\right]\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\cos \omega {\tau }_1{e}^{-{\tau }_1/T_2}{e}^{-{\tau }_2/T_1}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.40)}$$

写不下了，分成两篇