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斐波那契数列的递归和迭代实现

news 2025/9/19 9:47:36

一、斐波那契数列的数学定义

斐波那契数列（Fibonacci Sequence）的定义具有明确的递推关系，是算法实现的核心依据：

初始条件：F (0) = 0，F (1) = 1（注：部分场景以 F (1)=1，F (2)=1 为初始项，需根据业务需求统一标准，本文以 F (0) 为起始索引）

递推公式：对任意整数 n ≥ 2，F (n) = F (n-1) + F (n-2)

例如斐波那契数列的前10项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55

二、递归算法

递归算法的核心是 “将大问题拆解为同类小问题”，通过调用自身求解子问题，最终聚合得到原问题答案。这种实现方式与斐波那契数列的递推公式高度契合，代码简洁但需关注效率问题。

2.1 核心逻辑

递归实现的关键在于明确 “基线条件” 与 “递归拆解”

基线条件：当 n=1 或 n=2 时，直接返回初始值1.

递归拆解：当 n>2 时，将 F (n) 拆解为 F (n-1) 和 F (n-2) 两个子问题，通过递归调用获取子问题结果后相加，得到 F (n) 的值.

2.2 C++实现

long fibi(int n) {//递归算法if (n == 1 || n == 2)return 1;//基线条件return fibi(n - 1) + fibi(n - 2);//递归拆解
}

注意这里取用long类型,即64位有符号整数,其取值最大为2^63-1,因此最多只能算到斐波那契数列的第46位.当需要计算的位数极多时(如计算fibi(100)),可考虑使用可以保存更多位数的数据类型,而当内置数据类型也不满足需求时,可考虑自定义类型来保存大数字,比如利用数组来保存大数字的各个位上的数字,也可寻求第三方库的帮助

2.3 时间复杂度与空间复杂度分析

2.3.1 时间复杂度

递归算法的时间复杂度需分析 “总计算次数”.

总调用次数 = 各层节点数之和，近似为等比数列求和：
1+2+4+...+2^(n-1)=2^n

因此，时间复杂度为 O (2ⁿ)——指数级复杂度.当 n=30 时，调用次数约 100 万；n=40 时约 10 亿；n=50 时已超 1000 亿，完全无法实用。

显然,该算法效率极低,主要原因是大量的重复计算.例如计算fibi(20)时,fibi(2)被计算4181次,fibi(3)被计算2584次

2.3.2 空间复杂度

空间复杂度衡量算法[运行时占用的额外空间],该算法的空间消耗主要来自函数调用栈(存储每次递归调用的上下文，如参数、返回地址等)

递归算法的调用栈深度=[递归的最大层数]. 对于斐波那契递归:

计算fibi(n)时,递归会先一路拆解到fibi(1),此时调用栈的深度为n.
后续回溯计算fibi(n-2)时,栈会逐步弹出上层调用,栈深度不会超过n.

因调用栈深度为n,且每层调用仅占用常数级空间,故空间复杂度为O(n).

注意,当n较大时,可能会触发"栈溢出"错误.

三、迭代算法

迭代算法通过循环结构,从初始项开始逐步计算中间结果,直至得到目标值.这种实现方式避免了重复计算和栈空间占用,效率远高于普通递归

3.1 核心逻辑

迭代实现的关键在于"状态保存"与"循环推进":

状态初始化:定义两个变量保存前两项结果

循环推进:从fibi(3)开始,每次先更新past和prev为上一轮循环结束后curr的前两项,再通过past和prev计算当前项(curr=past+prev)

终止条件:当执行n-2次循环后,得到目标值

3.2 C++实现

long fibr(int n) {//递归算法long past, prev, curr;//临时变量分别存储第k-2,k-1,k项的值(k为循环次数+2)past = prev = curr = 1;//初始化for(int i=3;i<=n;i++){//不断递归计算下一项值past = prev;//存储fibr(i-2)prev = curr;//存储fibr(i-1)curr = past + prev;//存储fibr(i)}return curr;
}

3.3 时间复杂度和空间复杂度分析

3.3.1 时间复杂度

迭代算法的时间复杂度由"循环次数"决定.

该算法执行n-2次循环,原因:
第一次for循环,目标为fibr(3).past表示fibr(1),prev表示fibr(2),curr由两者相加,表示fibr(3);
第二次for循环,目标为fibr(4).past表示fibr(2),prev表示fibr(3),curr由两者相加,表示fibr(4);
第k次for循环将会得到fibr(k+2)的值.past是fibr(k+2)前二位,prev是fibr(k+2)前一位,curr由这两位相加得到fibr(k+2)的值
进入下一次循环,目标为fibr(k+3).此时past利用prev保持与目标值的相对位置,prev由curr保持与目标值的相对位置,最终curr由两值相加得到目标值
令k+2=n,则k=n-2,即需要进行n-2次循环即可得到目标值.

因此时间复杂度为 O (n),即线性级时间复杂度