双重机器学习DML

一、X和W分别指代的是什么？

X、W 和 T 分别代表不同的变量：

1. W (控制变量)

• W 是一个大小为 (n, n_w) 的矩阵，表示 n 个样本的 n_w 个控制变量。

• 这些控制变量是从标准正态分布中随机生成的，即 W ~ N(0, 1)。

• W 是影响处理变量 T 和结果变量 Y 的共同因素。

2. X (协变量)

• X 是一个大小为 (n, n_x) 的矩阵，表示 n 个样本的 n_x 个协变量。

• 这些协变量是从均匀分布 U(0, 1) 中随机生成的。

• X 用于生成异质性处理效应（TE），即处理效应 TE 是 X 的函数。这意味着处理效应 TE 依赖于 X 的值。

3. T (处理变量)

• T 是一个大小为 n 的向量，表示每个样本的处理变量。

• T 是通过 W 的线性组合生成的，具体来说，T = np.dot(W[:, support_T], coefs_T) + eta_sample(n)。

• 这里 support_T 是从 W 中选择的部分变量，coefs_T 是对应的系数，eta_sample(n) 是随机噪声。

• 因此，T 与 W 是相关的，因为 T 是 W 的线性组合加上噪声。

4. Y (结果变量)

• Y 是一个大小为 n 的向量，表示每个样本的结果变量。

• Y 是通过 Y = TE * T + np.dot(W[:, support_Y], coefs_Y) + epsilon_sample(n) 生成的。

• 这里 TE 是异质性处理效应，T 是处理变量，W[:, support_Y] 是 W 中选择的部分变量，coefs_Y 是对应的系数，epsilon_sample(n) 是随机噪声。

• 因此，Y 与 T 和 W 都是相关的，因为 Y 是 T 和 W 的线性组合加上噪声。

5. X、W 和 T 之间的相关关系

• X 和 W：在代码中，X 和 W 是独立生成的，因此它们之间没有直接的相关关系。

• X 和 T：X 和 T 之间也没有直接的相关关系，因为 T 是通过 W 生成的，而 X 是独立生成的。

• W 和 T：W 和 T 是相关的，因为 T 是通过 W 的线性组合生成的。

• X 和 Y：X 通过影响 TE 来间接影响 Y，因为 TE 是 X 的函数。

• W 和 Y：W 直接影响 Y，因为 Y 是 W 的线性组合加上其他项。

• T 和 Y：T 直接影响 Y，因为 Y 是 T 的线性组合加上其他项。

总结

• W 是影响 T 和 Y 的共同因素。

• X 通过影响 TE 来间接影响 Y，但与 W 和 T 没有直接的相关关系。

• T 与 W 相关，并且直接影响 Y。

这种设定通常用于模拟因果推断中的处理效应估计问题，其中 X 是协变量，W 是控制变量，T 是处理变量，Y 是结果变量。