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α-β-γ 滤波器推导（例 1：均值滤波的递推形式）

news 2025/9/17 10:17:52

在滤波器理论学习中，均值滤波的递推形式推导是理解 “动态递推滤波” 的基础。下面通过逐步推导，展示如何从「N 次测量值直接平均」转化为「递推形式（用上一次估计值更新当前估计值）」。

步骤 1：直接平均公式

首先，N 次测量值的直接平均估计公式为：

$\hat{x}_{N,N} = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} z_n$

备注：传统均值滤波，将 N 次测量值相加后除以 N，得到当前估计值。

步骤 2：拆分求和项

将 “前 N-1 次测量和” 与 “第 N 次测量” 拆分，便于引入 “上一次估计”：

$\hat{x}_{N,N} = \frac{1}{N} \left( \sum_{n=1}^{N-1} z_n + z_N \right)$

备注：把 N 次求和拆分为「前 N-1 次测量值的和」 + 「第 N 次测量值」，再整体除以 N。

步骤 3：展开分式

根据分式运算规则，将上式展开为两项之和：

$\hat{x}_{N,N} = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N-1} z_n + \frac{1}{N} z_N$

备注：纯粹的分式展开操作，为后续构造 “上一次估计” 做准备。

步骤 4：构造 “前 N-1 次的平均” 形式

为了引入「前 N-1 次测量的平均估计值」，对第一项乘以并除以 $N-1$ ：

$\hat{x}_{N,N} = \frac{1}{N} \cdot \frac{N-1}{N-1} \sum_{n=1}^{N-1} z_n + \frac{1}{N} z_N$

备注：通过 “乘以并除以 $N-1$ ”，构造出 “前 N-1 次测量的平均” 的形式。

步骤 5：代入 “上一次的估计值”

观察到： $\hat{x}_{N,N-1} = \frac{1}{N-1} \sum_{n=1}^{N-1} z_n$ 是前 N-1 次测量的平均估计值。

将其代入后，式子变为：

$\hat{x}_{N,N} = \frac{N-1}{N} \hat{x}_{N,N-1} + \frac{1}{N} z_N$

步骤 6：整理为递推形式

将 $\frac{N-1}{N} \hat{x}_{N,N-1}$ 拆分为 $\hat{x}_{N,N-1} - \frac{1}{N} \hat{x}_{N,N-1}$ ，代入后展开：

$\hat{x}_{N,N} = \hat{x}_{N,N-1} - \frac{1}{N} \hat{x}_{N,N-1} + \frac{1}{N} z_N$

最后合并同类项，提取 $\frac{1}{N}$ ，得到简洁的递推形式：

$\hat{x}_{N,N} = \hat{x}_{N,N-1} + \frac{1}{N} \left( z_N - \hat{x}_{N,N-1} \right)$

备注：递推含义：用「当前测量值 $z_N$ 与上一次估计值 $\hat{x}_{N,N-1}$ 的偏差」，乘以步长 $\frac{1}{N}$ ，来更新 “上一次估计值”，得到 “当前估计值”。

$\hat{x}_{N,N-1}$ 的物理意义：是x在N时刻、基于 $N-1$ 时刻（上一次）的测量值做出的预测状态，也称为先验估计值（上一次的估计值）。
迭代的 “接力” 需求：若要持续用公式 $\hat{x}_{N,N} = \hat{x}_{N,N-1} + \frac{1}{N} \left( z_N - \hat{x}_{N,N-1} \right)$ 迭代计算（比如计算 $N-1$ 时刻的估计值 $\hat{x}_{N+1,N+1}$ ），需要先由 $\hat{x}_{N,N}$ 算出下一轮的先验估计值 $\hat{x}_{N+1,N}$ 。
静态系统的简化处理：本例为方便教学，先针对静态系统（被估计量不随时间变化），令 $\hat{x}_{N+1,N} = \hat{x}_{N,N}$ 即 “下一轮的先验估计直接等于本轮的后验估计”）。

该方程为卡尔曼滤波 核心方程之一，被称为 状态更新方程（State Update Equation）。其形式和含义可拆解为：

$\underbrace{\text{The estimate of the current state}}_{\hat{x}_{N,N}} = \underbrace{\text{Predicted value of the current state}}_{\hat{x}_{N,N-1}} + \underbrace{\text{Factor}}_{\frac{1}{N}} \times \left( \underbrace{\text{Measurement}}_{z_N} - \underbrace{\text{Predicted value of the current state}}_{\hat{x}_{N,N-1}} \right)$

物理含义：用「当前测量值 $z_N$ 与 “当前状态的预测值” $\hat{x}_{N,N-1}$ 的偏差」，乘以一个修正因子（本例中为 $\frac{1}{N}$ ），对 “当前状态的预测值” 进行修正，最终得到 “当前状态的估计值” $\hat{x}_{N,N}$ 。
卡尔曼滤波的共性逻辑：这类 “预测值 + 偏差修正量” 的形式，是卡尔曼滤波（及衍生的递推滤波器，如 α-β-γ 滤波）的核心迭代逻辑 —— 用 “测量与预测的残差” 来优化状态估计。