线性代数 · 行列式 | 子式 / 主子式 / 顺序主子式 / 余子式 / 代数余子式

注：本文为 “线性代数 · 行列式 | 子式” 相关合辑。
略作重排，如有内容异常，请看原文。

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行列式概念

在行列式与矩阵分析中，子式、主子式、顺序主子式、余子式及代数余子式是基础且核心的概念，它们不仅是行列式展开、矩阵性质判断（如正定性）的关键工具，也广泛应用于线性代数、优化理论等领域。

本文将系统梳理这些概念的定义、计算方法、相互关系及应用场景，采用 “从一般到特殊” 的逻辑展开，确保概念清晰、逻辑严谨。

1. k 阶子式（k-th Order Minor）

k 阶子式是后续所有 “子式类” 概念的基础，其核心是从行列式中任意选取 k 行与 k 列，由行列交叉处元素构成的新行列式。

1.1 定义

对于一个 n 阶行列式（n ≥ k），任意选取 k 个不同的行下标（记为 $i_1<i_2<\cdots <i_k$）和 k 个不同的列下标（记为 $j_1<j_2<\cdots <j_k$），将这 k 行 k 列交叉位置的元素按原行列式的顺序排列，构成的 k 阶行列式，称为原行列式的一个k 阶子式。

• 若 k = n，则 k 阶子式就是原行列式本身；
• 若 k < n，一个 n 阶行列式存在多个 k 阶子式，其数量为组合数 ${\mathrm{C}}_n^k\times {\mathrm{C}}_n^k$（先选 k 行，再选 k 列）。

1.2 示例（以 3 阶行列式为例）

设 3 阶行列式为：
$$D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$$

• 3 阶子式：仅 1 个，即 $D$ 本身；
• 2 阶子式：选取第 1、2 行和第 1、3 列，交叉元素构成的子式为 $\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ b_1& b_3\end{array}\right|$；选取第 2、3 行和第 2、3 列，构成的子式为 $\left|\begin{array}{cc}{b}_2& b_3\\ c_2& c_3\end{array}\right|$（其他 2 阶子式可类似选取）；
• 1 阶子式：每个元素本身都是 1 阶子式，共 9 个（如 $a_1,b_2,c_3$ 等）。

2. k 阶主子式（k-th Order Principal Minor）

k 阶主子式是 k 阶子式的特殊情况，核心限制是 “选取的行下标与列下标必须完全相同”，这一约束使其比普通 k 阶子式更具 “对称性”，也更常用于矩阵性质分析。

2.1 定义

对于 n 阶行列式，选取 k 个相同的行下标与列下标（记为 $i_1<i_2<\cdots <i_k$，即行下标 = 列下标），将这 k 行 k 列交叉位置的元素构成的 k 阶行列式，称为原行列式的一个 k 阶主子式。

• 核心特征：行下标与列下标完全一致（如选第 2、4 行，则必须选第 2、4 列）；
• 唯一性：k 阶主子式不唯一（只要行 / 列下标组合不同，即构成不同主子式），其数量为组合数 ${\mathrm{C}}_n^k$（仅需选 k 个一致的行 / 列下标）。

2.2 示例（以 3 阶行列式为例）

沿用 1.2 中的 3 阶行列式 $D$：

• 3 阶主子式：仅 1 个，即 $D$ 本身（行下标 = 列下标 = 1,2,3）；

• 2 阶主子式：

  1. 行 / 列下标 = 1,2：$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|$；
  2. 行 / 列下标 = 1,3：$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ c_1& c_3\end{array}\right|$；
  3. 行 / 列下标 = 2,3：$\left|\begin{array}{cc}{b}_2& b_3\\ c_2& c_3\end{array}\right|$；

• 1 阶主子式：共 3 个
  行 / 列下标 = 1（即 $a_1$）
  行 / 列下标 = 2（即 $b_2$）
  行 / 列下标 = 3（即 $c_3$）

3. k 阶顺序主子式（k-th Order Leading Principal Minor）

k 阶顺序主子式是 k 阶主子式的进一步特殊情况，核心约束是 “选取的行 / 列下标必须从 1 开始连续选取”，这一强约束使其成为唯一的 k 阶主子式，也是判断矩阵正定性的核心工具。

3.1 定义

对于 n 阶行列式，选取前 k 行（行下标 = 1,2,…,k）和前 k 列（列下标 = 1,2,…,k），交叉位置元素构成的 k 阶行列式，称为原行列式的k 阶顺序主子式。

• 核心特征：行 / 列下标从 1 开始连续（如 k=2 时，必须选 1,2 行和 1,2 列）；
• 唯一性：对于固定的 k（1 ≤ k ≤ n），n 阶行列式的 k 阶顺序主子式仅有 1 个。

3.2 示例（以 3 阶行列式为例）

沿用 1.2 中的 3 阶行列式 $D$：

• 1 阶顺序主子式：前 1 行 1 列，即 $a_1$；
• 2 阶顺序主子式：前 2 行 2 列，即 $\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|$；
• 3 阶顺序主子式：前 3 行 3 列，即 $D$ 本身。

3.3 重要应用：判断对称矩阵的正定性

对于 n 阶对称矩阵 $A$，若其所有 k 阶顺序主子式（k=1,2,…,n）均大于 0，则 $A$ 是正定矩阵（正定矩阵在二次型、优化问题中具有 “最小值” 特性）。

实例分析

设 3 阶对称矩阵：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 2\\ 1& 5& 3\\ 2& 3& 6\end{array}\right)$$
计算其各阶顺序主子式：

1. 1 阶顺序主子式：$A_1=4>0$；
2. 2 阶顺序主子式：$A_2=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 5\end{array}\right|=4\times 5-1\times 1=19>0$；
3. 3 阶顺序主子式：$A_3=\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 2\\ 1& 5& 3\\ 2& 3& 6\end{array}\right|=4\times (5\times 6-3\times 3)-1\times (1\times 6-3\times 2)+2\times (1\times 3-5\times 2)=4\times 21-1\times 0+2\times (-7)=84-14=70>0$。

由于所有顺序主子式均大于 0，故 $A$ 是正定矩阵。

4. 余子式（Minor of an Element）

余子式是针对行列式中单个元素定义的，核心是 “划去该元素所在的行与列后，剩余元素构成的行列式”，是代数余子式的基础。

4.1 定义

对于 n 阶行列式 $D$，任取其中一个元素 $a_{ij}$（位于第 i 行第 j 列），划去第 i 行和第 j 列的所有元素，将剩余的 $(n-1)$ 行 $(n-1)$ 列元素按原顺序排列，构成的 $(n-1)$ 阶行列式，称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$。

• 本质：余子式是 $(n-1)$ 阶子式的一种，但其行 / 列下标由元素 $a_{ij}$ 的位置唯一确定；
• 与元素值的关系：余子式仅与元素 $a_{ij}$ 的位置有关，与 $a_{ij}$ 本身的数值无关。

4.2 示例（以 3 阶行列式为例）

沿用 1.2 中的 3 阶行列式 $D$，求元素 $a_{23}$（第 2 行第 3 列，即 $b_3$）的余子式：

1. 划去第 2 行（$b_1,b_2,b_3$）和第 3 列（$a_3,b_3,c_3$）；
2. 剩余元素为第 1 行 1-2 列（$a_1,a_2$）和第 3 行 1-2 列（$c_1,c_2$）；
3. 余子式 $M_{23}=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ c_1& c_2\end{array}\right|$。

5. 代数余子式（Algebraic Minor of an Element）

代数余子式是在余子式的基础上引入 “符号因子”，用于行列式按行 / 列展开公式，是简化行列式计算的核心工具。

5.1 定义

对于 n 阶行列式 $D$ 中的元素 $a_{ij}$，其代数余子式记为 $A_{ij}$，定义为：
$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ij}$$
其中，$M_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的余子式，$(-1{)}^{i+j}$ 是符号因子（由元素 $a_{ij}$ 的行标 i 和列标 j 共同决定）。

• 符号规律：当 $i+j$ 为偶数时，$A_{ij}=M_{ij}$；当 $i+j$ 为奇数时，$A_{ij}=-M_{ij}$（可记忆为 “棋盘式” 符号：左上角为正，相邻元素符号交替）。

5.2 示例（以 3 阶行列式为例）

沿用 1.2 中的 3 阶行列式 $D$，求元素 $a_{23}$ 的代数余子式：

1. 已求得余子式 $M_{23}=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ c_1& c_2\end{array}\right|$；
2. 行标 $i=2$，列标 $j=3$，故 $i+j=5$（奇数），符号因子为 $(-1{)}^5=-1$；
3. 代数余子式 $A_{23}=-M_{23}=-\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ c_1& c_2\end{array}\right|$。

5.3 重要应用：行列式按行 / 列展开定理

对于 n 阶行列式 $D$，任取第 i 行（或第 j 列），其所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和等于 $D$ 的值，即：

• 按第 i 行展开：$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}$（$i=1,2,\dots ,n$）；
• 按第 j 列展开：$D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}$（$j=1,2,\dots ,n$）。

该定理将 n 阶行列式的计算转化为 $(n-1)$ 阶行列式的计算，大幅简化运算（尤其适用于含多个 0 元素的行 / 列）。

逻辑链总结：k 阶顺序主子式 ⊂ k 阶主子式 ⊂ k 阶子式；余子式是 $(n-1)$ 阶子式，代数余子式是余子式的符号修正形式。

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via:

• 主子式、顺序主子式、余子式、代数余子式 - CSDN 博客
  https://blog.csdn.net/yskyskyer123/article/details/87891051
• k 阶子式、主子式、顺序主子式、余子式、代数余子式_k 阶主子式 - CSDN 博客
  https://blog.csdn.net/qq_34824576/article/details/102678671
• 行列式的子式、主子式、顺序主子式、余子式、代数余子式 - CSDN 博客
  https://blog.csdn.net/hyl1181/article/details/111144212
• 矩阵的顺序主子式的理解 - CSDN 博客
  https://blog.csdn.net/qq_44154915/article/details/134175858