3-机器学习与大模型开发数学教程-第0章 预备知识-0-3 函数初步（多项式、指数、对数、三角函数、反函数）
在数学和机器学习中，函数是最重要的概念之一。直观上，函数就像是一台“机器”，输入一个数，经过一系列规则加工，输出另一个数。比如你把苹果放进榨汁机，出来的是苹果汁——这就是“输入”和“输出”的关系。
在机器学习里，模型本质上就是一个复杂的函数：输入数据（图像、文本、音频），输出预测结果（分类、生成、翻译）。所以打好函数的基础，对理解 AI 模型至关重要。
1. 多项式函数
最常见的函数就是 多项式函数，形式为：
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0
比如：
- 一次函数：f(x)=2x+3f(x)=2x+3f(x)=2x+3（直线）
- 二次函数：f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3f(x)=x2−4x+3（抛物线）
直观类比：多项式函数就像是“配方”，把原料 xxx 按照不同的比例（系数）和加工方式（幂次方）混合起来。
在机器学习中：线性回归模型就是最简单的一次多项式；更复杂的模型（比如神经网络）可以看作是多项式函数的组合。
2. 指数函数
指数函数的基本形式是：
f(x)=ax(a>0,a≠1)f(x) = a^x \quad (a>0, a \neq 1)f(x)=ax(a>0,a=1)
- 当 a>1a > 1a>1 时，函数呈 指数增长（比如病毒传播、互联网用户数增长）。
- 当 $0 时，函数呈 指数衰减（比如药物浓度随时间下降）。
在机器学习中：
- 学习率衰减常用指数函数。
- 概率分布（如 softmax 函数）中也有指数运算。
3. 对数函数
对数函数是指数函数的反函数：
f(x)=loga(x)(a>0,a≠1)f(x) = \log_a(x) \quad (a>0, a \neq 1)f(x)=loga(x)(a>0,a=1)
含义：回答“某个数是底数 aaa 的几次幂？”
例如：log2(8)=3\log_2(8)=3log2(8)=3，因为 23=82^3=823=8。
直观类比：
指数函数是“复利滚雪球”，对数函数是“问雪球有多大时，它是滚了几次”。
在机器学习中：
- 信息论中的 信息熵、交叉熵损失函数用到对数。
- 对数常用来缩放数据，解决数值过大问题。
4. 三角函数
三角函数与角度和周期现象相关，比如：
sin(x),cos(x),tan(x)\sin(x), \quad \cos(x), \quad \tan(x)sin(x),cos(x),tan(x)
它们的特点是 周期性，经常用来描述波动。
直观类比：海浪的起伏、四季的变化、电台的信号，都是周期性的，可以用三角函数建模。
在机器学习中：
- Transformer 的位置编码（Positional Encoding）就使用了正弦和余弦函数，帮助模型理解序列的顺序。
5. 反函数
一个函数如果可以“逆转过程”，就有 反函数。
比如：
- 指数函数 y=2xy=2^xy=2x 的反函数是对数函数 y=log2(x)y=\log_2(x)y=log2(x)。
- 平方函数 y=x2y=x^2y=x2 的反函数（在非负数范围内）是平方根函数 y=xy=\sqrt{x}y=x。
我们可以用一个 Mermaid 图来展示函数与反函数的关系：
说明：
- 函数 fff 把输入 xxx 变成输出 yyy。
- 反函数 f−1f^{-1}f−1 把 yyy 再还原成 xxx。
- 两者是互逆的，就像“加法”和“减法”，“加密”和“解密”。
从几何角度来看，函数与反函数的图像是 关于直线 y=xy=xy=x 对称的。
总结
- 多项式：机器学习的基本模型（线性回归就是一次多项式）。
- 指数与对数：描述增长与衰减，在概率和损失函数中常见。
- 三角函数：处理周期性问题，比如 Transformer 的位置编码。
- 反函数：理解“可逆映射”，帮助我们把“结果”还原成“输入”。
函数世界是整个数学和机器学习的基础。后续的微积分、线性代数、概率论，几乎都离不开函数的概念。