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每日算法题推送

news 2025/9/14 6:40:27

题目1：快乐数

我们先来结合实例看一下判断快乐数的整个过程：

结合题目可以知道，如果一个数是快乐数，那么这个数最终就会变成1，如果一个数不是快乐数，那么变化序列最终就会陷入循环。想一下，如果题目没有告诉我们“如果一个数不是快乐数，最后会陷入死循环”这句话，我们应该如何来证明这个观点？

这里就要用到小学学过的“鸽巢原理”（抽屉原理）来进行简单的证明。

鸽巢原理：如果一共有n个鸽巢，有n+1只鸽子，那么一定存在至少一个鸽巢，这个鸽巢里面的格子数大于1.

我们知道n是一个整型类型而且n>0，那么n的取值范围就在1~2^31-1,而2^31-1=2147483647，这个数一定小于9999999999，如果非快乐数的变化不是循环的，那么总有一次会变成最大的那一个数2147483647，而这个数小于9999999999，在经过题目所说的变化以后，一定会变成小于(9^2)*10=810的数x，所以这个数经过相应的又会进入新一轮的循环，所以我们一开始的假设（即非快乐数的变化不是循环的）是错误的，所以一个非快乐数，他经过相应的变化以后会进入一个循环的序列。

结合上图和解释，我们可以将序列的变化抽象为下面的图：

如果看过数据结构之链表篇的兄弟对这一张图一定很熟悉，这就是我们之前做的带环的链表的那一道题（这道题可以参考：https://blog.csdn.net/pusue_the_sun/article/details/150438603?fromshare=blogdetail&sharetype=blogdetail&sharerId=150438603&sharerefer=PC&sharesource=pusue_the_sun&sharefrom=from_link）

在那一道题中我们所使用的思路是前后指针，同理这一道题我们也可以使用前后指针的思想。

我们先定义一个快指针和慢指针，初始时慢指针的值就等于n，而快指针的值就等于n经过一次变化以后所得到的值。然后每次让慢指针经历一次变化，快指针经过两次变化，最后快慢指针一定都会进入成环的那一部分，那么最终快慢指针就一定会相遇，即它们两个的值一定会相同（这个结论的分析过程见带环的链表那一道题），接下来我们只需判断当它们两的值相同时，slow的值是1还是其他值，如果是1，那么就代表n是快乐数，反之就不是快乐数。

//快慢指针
//将一个数替换为他们个位置上的数字的平方和
int Func(int n)
{int m=n;int sum=0;while(m){int x=m%10;sum+=x*x;m/=10;}return sum;
}
bool isHappy(int n) 
{int slow=n;int fast=Func(n);while(fast!=slow){slow=Func(slow);fast=Func(fast);fast=Func(fast);}return slow==1;
}

题目2：盛最多水的容器

方法一：暴力求解。这道题我们当然可以使用双层循环求任意两个区间中容器的体积，然后比较得到最大的容积。但是，这个思路虽然好想，时间复杂度却太高了，无法通过题解。

方法二：双指针法。我们知道，对于任意一个区间，容器的体积是由宽度和高度两部分决定的，根据木桶效应，一个区间容器的高度有较小的高度决定。假设我们一开始将宽度拉到最大，即包含整个区间（区间范围是 [0,heightsize-1] ）,算出这一部分的体积，然后再缩小宽度，依次去计算对应区间的体积并比较，然后就可以得到最大体积。我们应该如何缩小宽度才能达到找到最大体积的目的呢？我们知道，体积是由宽度和高度共同决定的，当我们缩小宽度时，如果还想让体积变大，就一定要让高度变大，所以对于区间的两个端点，我们需要舍弃对应高度较小的那一个端点来缩小宽度。

结合上述思路我们来整理出这道题的算法步骤：

1.定义两个指针right和left分别指向数组的最右边和最左边

2.计算left到right区间的容积

3.缩小区间范围，如果left对应的高度小于right对应的高度，就让left++；反之就让right--

4.通过比较更新最大容积

现在我们就可以来写代码啦：

int maxArea(int* height, int heightSize) 
{int max=0;int left=0,right=heightSize-1;while(left<right){int h=height[left]<height[right]?height[left]:height[right];int v=h*(right-left);if(height[left]<height[right]){left++;}else{right--;}if(v>max){max=v;}}return max;
}