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从零学算法2327

news 2025/9/13 7:34:07

2327.知道秘密的人数
在第 1 天，有一个人发现了一个秘密。
给你一个整数 delay ，表示每个人会在发现秘密后的 delay 天之后，每天给一个新的人分享秘密。同时给你一个整数 forget ，表示每个人在发现秘密 forget 天之后会忘记这个秘密。一个人不能在忘记秘密那一天及之后的日子里分享秘密。
给你一个整数 n ，请你返回在第 n 天结束时，知道秘密的人数。由于答案可能会很大，请你将结果对 109 + 7 取余后返回。
示例 1：
输入：n = 6, delay = 2, forget = 4
输出：5
解释：
第 1 天：假设第一个人叫 A 。（一个人知道秘密）
第 2 天：A 是唯一一个知道秘密的人。（一个人知道秘密）
第 3 天：A 把秘密分享给 B 。（两个人知道秘密）
第 4 天：A 把秘密分享给一个新的人 C 。（三个人知道秘密）
第 5 天：A 忘记了秘密，B 把秘密分享给一个新的人 D 。（三个人知道秘密）
第 6 天：B 把秘密分享给 E，C 把秘密分享给 F 。（五个人知道秘密）
示例 2：
输入：n = 4, delay = 1, forget = 3
输出：6
解释：
第 1 天：第一个知道秘密的人为 A 。（一个人知道秘密）
第 2 天：A 把秘密分享给 B 。（两个人知道秘密）
第 3 天：A 和 B 把秘密分享给 2 个新的人 C 和 D 。（四个人知道秘密）
第 4 天：A 忘记了秘密，B、C、D 分别分享给 3 个新的人。（六个人知道秘密）
提示：
2 <= n <= 1000
1 <= delay < forget <= n

定义数组know[i]表示恰好在第i天知道秘密的人
那么当 j 在[i+delay,i+forget-1]区间时，第j天的人都会因为之前的人恰好在第i天知道秘密，因此让第j天的人也恰好在这个区间中某一天被分享而知道了秘密
而统计最后结果时，我们只要统计在到第n天时还在遗忘期限内的人即可，即n<=i+forget-1

  public int peopleAwareOfSecret(int n, int delay, int forget) {final int MOD = (int)1e9 + 7;int[] know = new int[n + 1];know[1] = 1;long ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){// 这天以及之后的人来不及遗忘秘密// 而这之前的人都会因为经过了forget天还没到n天而遗忘秘密，所以不计入ansif(i + forget - 1 >= n){ans += know[i];}for(int j = i + delay; j <= Math.min(i + forget - 1, n); j++){know[j] = (know[j] + know[i]) % MOD;}}return (int)(ans % MOD);}

know[i+delay,i+forget-1] 都加上 know[i]，可以用差分数组优化
know[1] = 1 -> d[1] = 1，know[2] = 0 -> d[2] = 0 - 1 = -1

  public int peopleAwareOfSecret(int n, int delay, int forget) {final int MOD = (int)1e9 + 7;int[] d = new int[n + 1];// know[] = [0,1,0,0,...]// 对应d[] = [0,1,-1,0,...]d[1] = 1;d[2] = -1;int know = 0;long ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){// know 相当于之前的 know[i]，因为d[0]+...+d[i] = know[i]know = (know + d[i]) % MOD;if(i + forget - 1 >= n){ans += know;}// know[i+delay,i+forget-1]的人都增加know[i]// 对应d[i+delay] += know, d[i+forget] -= knowif(i + delay <= n){d[i + delay] = (d[i + delay] + know) % MOD;}if(i + forget <= n){d[i + forget] = (d[i + forget] - know + MOD) % MOD;}}return (int)(ans % MOD);}

前缀和：设 sum[i] = 第i天结束时，累计知道过秘密的人数
- 我们要的结果是在第 n - forget + 1 到第 n 天新增的知道秘密的人数，这些人还没来得及遗忘，是到第 n 天还记得秘密的人
- 第i到j天知道的人数为sum[j] - sum[i-1]
- 所以最终结果为 sum[n] - sum[n - forget]
从第一天开始不断累加今天新增的知道秘密的人数know，就能得到最终的 sum
- 即不断 sum[j] = sum[j - 1] + know
最终难点就是计算出 know，在第 j 天新增知道的秘密的人数其实就是在第 j 天能够分享秘密的人数总和
- 假设在第 k 天知道秘密，第 j 天能分享，首先要经过 delay 天
  - 即 j >= k + delay -> k <= j - delay
- 其次不能经过 forget 天否则会忘记
  - 即 j <= k + forget - 1 -> k >= j - forget + 1
- 也就是说在第 j-forget+1 ~ j - delay 天之间知道秘密的总人数就是 know，你会发现这不就是 sum[j - delay] - sum[j-forget]

  public int peopleAwareOfSecret(int n, int delay, int forget) {final int MOD = (int)1e9 + 7;int[] sum = new int[n + 1]; // known 数组的前缀和sum[1] = 1;for(int j = 2; j <= n; j++){// 第 j 天新增的知道秘密的人数int know = (sum[Math.max(j-delay,0)] - sum[Math.max(j-forget,0)]) % MOD;// 前几天知道的总人数 + 新增的等于到第j天为止知道的总和sum[j] = (sum[j-1] + know) % MOD;}int ans = sum[n] - sum[Math.max(n-forget, 0)];return (int)(ans % MOD + MOD)%MOD; // 保证答案非负}