LeetCode 分类刷题：2563. 统计公平数对的数目

题目

给你一个下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 nums ，和两个整数 lower 和 upper ，返回 公平数对的数目 。

如果 (i, j) 数对满足以下情况，则认为它是一个 公平数对 ：

• 0 <= i < j < n，且
• lower <= nums[i] + nums[j] <= upper

示例 1：

输入：nums = [0,1,7,4,4,5], lower = 3, upper = 6
输出：6
解释：共计 6 个公平数对：(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,3)、(1,4) 和 (1,5) 。

示例 2：

输入：nums = [1,7,9,2,5], lower = 11, upper = 11
输出：1
解释：只有单个公平数对：(2,3) 。

解析

来自豆包的解释

排序为何不改变答案？—— 从 “数对本质” 分析

排序的本质是重新排列数组元素的位置，但不会改变以下两个统计公平数对的核心要素：

1. 所有可能的 “元素对组合” 不变

公平数对的数值约束仅依赖 “两个元素的和”，而非它们的原始位置。例如原始数组[0,1,7,4,4,5]中，数对（0,3）对应元素0+4=4（满足 3≤4≤6），排序后数组变为[0,1,4,4,5,7]，这两个元素依然存在，只是位置变为（0,2），但 “0 和 4 的组合” 及 “和为 4” 的事实未变。
排序后，我们依然能找到所有 “数值和在 [lower, upper] 区间内” 的元素对 —— 只是这些元素对的位置索引发生了变化，但 “存在多少个这样的对” 不会减少或增加。

2. 排序后仍能保证 “i < j” 的位置约束（且不重复统计）

题目要求i < j，本质是 “每个数对只统计一次”（避免（i,j）和（j,i）被重复计算）。排序后，我们依然可以通过 “固定 j，找左侧 i < j 的元素” 或 “双指针 / 二分法遍历有序数组” 来满足i < j的约束，且不会遗漏或重复统计。
例如排序后的数组[0,1,4,4,5,7]，统计时只需确保 “每次找的元素都在当前元素的左侧”（i < j），就能和原始数组的统计逻辑保持一致 —— 最终得到的 “符合条件的数对数量” 与原始数组完全相同。

由于排序不影响答案，可以先（从小到大）排序，这样可以二分查找。

nums 是 [1,2] 还是 [2,1]，算出来的答案都是一样的，因为加法满足交换律 a+b=b+a。

排序后，枚举右边的 nums[j]，那么左边的 nums[i] 需要满足 0≤i<j 以及lower−nums[j]≤nums[i]≤upper−nums[j]
计算 ≤upper−nums[j] 的元素个数，减去 <lower−nums[j] 的元素个数，即为满足上式的元素个数。（联想一下前缀和）

由于 nums 是有序的，我们可以在 [0,j−1] 中二分查找，

• 找到 >upper−nums[j] 的第一个数，设其下标为 r，那么下标在 [0,r−1] 中的数都是 ≤upper−nums[j] 的，这有 r 个。如果 [0,j−1] 中没有找到这样的数，那么二分结果为 j。这意味着 [0,j−1] 中的数都是 ≤upper−nums[j] 的，这有 j 个。
• 找到 ≥lower−nums[j] 的第一个数，设其下标为 l，那么下标在 [0,l−1] 中的数都是 <lower−nums[j] 的，这有 l 个。如果 [0,j−1] 中没有找到这样的数，那么二分结果为 j。这意味着 [0,j−1] 中的数都是 <lower−nums[j] 的，这有 j 个。
• 满足 lower−nums[j]≤nums[i]≤upper−nums[j] 的 nums[i] 的个数为 r−l，加入答案。

作者：灵茶山艾府
链接：https://leetcode.cn/problems/count-the-number-of-fair-pairs/solutions/2107079/er-fen-cha-zhao-de-ling-huo-yun-yong-by-wplbj/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

答案

class Solution:def countFairPairs(self, nums: List[int], lower: int, upper: int) -> int:nums.sort()ans = 0for j, x in enumerate(nums):# 注意要在 [0, j-1] 中二分，因为题目要求两个下标 i < jr = bisect_right(nums, upper - x, 0, j)l = bisect_left(nums, lower - x, 0, j)ans += r - l  return ans# 作者：灵茶山艾府
# 链接：https://leetcode.cn/problems/count-the-number-of-fair-pairs/solutions/2107079/er-fen-cha-zhao-de-ling-huo-yun-yong-by-wplbj/
# 来源：力扣（LeetCode）
# 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

复杂度分析

时间复杂度：O(nlogn)，其中 n 为 nums 的长度。

空间复杂度：O(1)。忽略排序的栈开销。