C语言数据结构——详细讲解《二叉树与堆的基本概念》

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前言

• 在上一篇博客中，我们探讨了队列这种线性数据结构，而此前学习的栈也属于线性结构——它们的元素都遵循“一对一”的线性逻辑关系。但在实际场景中，很多数据需要“一对多”的层级关系描述（比如文件系统、部门组织架构），此时线性结构就显得力不从心。
• 今天，我们将进入非线性数据结构的世界，从最基础的“树”入手，逐步聚焦到应用最广泛的“二叉树”，最终讲解一种特殊的二叉树——“堆”。这三者层层递进，是后续学习高级数据结构（如红黑树、B+树）的核心基础。

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一、树的基础概念

在学习二叉树前，我们必须先理解“树”的本质——它是所有层级结构数据的“通用模型”，而二叉树是树的“简化版”。

1.1 为什么需要树？

假设我们要存储“电脑文件系统”的结构：C盘下有用户和系统两个文件夹，用户下又有文档和图片……

• 如果用数组或链表（线性结构）存储，只能按“C盘→用户→文档→图片→系统”的顺序排列，无法体现“父子文件夹”的层级关系。而树的“一对多”结构，恰好能完美描述这种层级逻辑。

树的核心价值：解决“层级数据”的存储与访问问题，弥补线性结构在“一对多”关系中的不足。

1.2 树的定义与结构

树是由n（n≥0）个有限结点组成的具有层次关系的集合，满足以下规则：

• 有且仅有一个根结点（如文件系统的“C盘”），根结点没有前驱结点；
• 除根结点外，其余结点被分成m（m>0）个互不相交的子集（如“用户”“系统”文件夹），每个子集都是一棵独立的“子树”；
• 子树之间不能相交（否则就变成了“图”，而非树）；
• 一棵有N个结点的树，必有N-1条边（每个结点除根外，都只通过一条边连接父结点）。

1.3 树的核心术语

树的术语较多，下面我们详细讲解一下

1.3 树的核心术语

树的术语较多，且需结合具体结构理解，我们以图示的树（根为A，子节点包含B、C、D、E、F、G等）为例，详细讲解：

术语	定义	示例（基于图示树）
父结点/双亲	含有直接子结点的结点，是子结点的直接上层结点	A是B、C、D、E、F、G的父结点（A直接包含这6个子结点）
子结点/孩子	被父结点直接包含的结点，是父结点的直接下层结点	B、C、D、E、F、G是A的子结点
结点的度	结点拥有的直接子结点数量（仅统计 immediate child）	A的度为6（有B、C、D、E、F、G共6个直接子结点）
树的度	树中所有结点的度的最大值	树的度为6（A的度最大，为6）
叶子结点	度为0的结点（无任何直接子结点，是树的“最底层终端结点”）	B、C、H、K、L、M、N、P、Q（这些结点没有子结点）
分支结点	度不为0的结点（非叶子结点，可继续延伸子树）	A、D、E、F、G、J（这些结点有直接子结点）
兄弟结点	拥有相同父结点的结点	B、C、D、E、F、G互为兄弟结点（它们的父结点都是A）
结点的层次	从根开始计数，根为第1层，子结点为第2层，依此类推	A在第1层；B、C在第2层；H、I在第3层；P、Q在第4层
树的高度/深度	树中结点的最大层次（从根到最底层叶子的最长路径的层数）	树的高度为4（最底层结点P、Q在第4层）
祖先	从根结点到该结点的路径上的所有结点	P的祖先是A、E、J（路径：A→E→J→P）
子孙	以该结点为根的子树中的所有结点（包括间接子结点）	E的子孙是I、J、P、Q（E的子树包含这些结点）
森林	m（m>0）棵互不相交的树的集合（多棵独立树的组合）	若“以B为根的树”和“以C为根的树”相互独立，则它们组成森林

1.4 树的表示方法（孩子兄弟表示法）

树的存储需要同时保存“结点值”和“结点间的层次关系”，常用的是孩子兄弟表示法

结构定义

// 树的孩子兄弟表示法结点结构
typedef struct TreeNode {int data;                  // 结点存储的数据struct TreeNode* firstChild; // 指向该结点的“第一个子结点”（左起第一个）struct TreeNode* nextBrother; // 指向该结点的“下一个兄弟结点”（同一父结点的右侧兄弟）
} TreeNode;

为什么用孩子兄弟表示法？

• 优点：只需两个指针（firstChild和nextBrother），就能表示任意结构的树；且能将树“转化为二叉树”（把“兄弟关系”当作二叉树的“右子树”），后续可复用二叉树的操作逻辑。
• 示例：若结点B有子结点E、F，且B的兄弟是C，则B->firstChild = E，E->nextBrother = F，B->nextBrother = C。

1.5 树的实际应用场景

• 文件系统：根目录（根结点）→ 文件夹（分支结点）→ 文件（叶子结点）；
• 组织架构：CEO（根结点）→ 部门总监（分支结点）→ 员工（叶子结点）；
• 数据库索引：B树、B+树（基于树结构实现高效查询）。

二、二叉树的概念与特性

树的结构灵活但复杂，而二叉树是树中最简单、最常用的类型——它限制了结点的度不超过2，大大降低了操作难度，且任意树都能转换为二叉树。

2.1 为什么重点研究二叉树？

既然树能表示任意层级关系，为什么还要专门学二叉树？答案是**“trade-off（权衡）”**：

• 树的结点度可以是任意值（如一个结点有100个子结点），导致操作逻辑（如遍历、插入）非常复杂；
• 二叉树限制“结点度≤2”，且子树有“左、右之分”（有序），操作逻辑统一，易于实现；
• 关键：任意树都能通过“孩子兄弟表示法”转换为二叉树，学会二叉树就相当于掌握了所有树的核心操作。

2.2 二叉树的定义与核心特点

二叉树是结点的有限集合，满足：

1. 集合为空（空二叉树）；
2. 由一个根结点 + 一棵“左子树” + 一棵“右子树”组成，且左、右子树均为二叉树；
3. 核心约束：
   • 结点的度≤2（最多有2个孩子：左孩子、右孩子）；
   • 子树有“左右次序”（左子树和右子树颠倒后，是不同的二叉树）。

2.3 特殊的二叉树

二叉树中最常用的两种特殊类型是“满二叉树”和“完全二叉树”，后者是堆的基础。

2.3.1 满二叉树

• 定义：每一层的结点数都达到最大值的二叉树（即第k层有2^(k-1)个结点）。
• 公式：若满二叉树的层数为h，则总结点数为2^h - 1（等比数列求和：1+2+4+…+2^(h-1) = 2^h -1）。
• 示例：h=3的满二叉树，总结点数=2^3 -1=7（第1层1个，第2层2个，第3层4个）。

2.3.2 完全二叉树

• 定义：深度为h、有n个结点的二叉树，若其结点与“深度为h的满二叉树”中编号1~n的结点一一对应（编号从根开始，从上到下、从左到右），则为完全二叉树。
• 核心特点：
  • 叶子结点只能出现在最后两层；
  • 最后一层的叶子结点必须从左到右连续排列（不能有“左边空、右边有”的情况）；
  • 满二叉树是“特殊的完全二叉树”（n=2^h -1时，完全二叉树就是满二叉树）。

关键区别：满二叉树要求“每一层都满”，完全二叉树只要求“最后一层左连续”——完全二叉树更灵活，且适合用数组存储（无空间浪费）。

2.4 二叉树的重要性质

以下性质基于“根结点层数为1”的规则，是后续堆操作的数学基础：

1. 第i层最多结点数：若根为第1层，则第i层最多有2^(i-1)个结点（如第1层1=2^0 ，第2层2=2^1， 第3层4=2^2）；
2. 深度h的最大结点数：深度为h的二叉树，最多有2^h -1个结点（即满二叉树的结点数公式）；
3. 叶子结点与分支结点关系：对任意非空二叉树，若叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则必有n0 = n2 + 1（推导：总边数=总结点数-1，且边数= n11 + n22，总结点数= n0 + n1 + n2，联立得n0 = n2 +1）；
4. 完全二叉树的父/子索引关系：若完全二叉树用数组存储（索引从0开始），则序号为i的结点：
   • 父结点序号：(i-1)/2（整数除法，如i=1的父结点是0，i=2的父结点是0）；
   • 左孩子序号：2*i + 1（若2*i+1 < 总结点数，则存在左孩子）；
   • 右孩子序号：2*i + 2（若2*i+2 < 总结点数，则存在右孩子）。

三、二叉树的存储结构

二叉树有两种存储方式，分别对应不同的应用场景：

3.1 顺序存储（数组存储）

原理

用数组存储二叉树的结点，结点的位置（索引）由其在完全二叉树中的编号决定（参考“完全二叉树的父/子索引关系”）。

• 适合场景：完全二叉树（无空间浪费）；
• 不适合场景：非完全二叉树（空结点需占用数组位置，空间利用率低）。

示例（完全二叉树的顺序存储）

若完全二叉树结点为[A, B, C, D, E, F]（根为A，左子树B、D、E，右子树C、F），数组存储如下：

数组索引	0	1	2	3	4	5
结点值	A	B	C	D	E	F

• A（0）的左孩子是B（1=20+1），右孩子是C（2=20+2）；
• B（1）的左孩子是D（3=21+1），右孩子是E（4=21+2）；
• C（2）的左孩子是F（5=22+1），右孩子不存在（22+2=6 ≥ 总结点数6）。

3.2 链式存储（二叉链）

原理

用链表存储二叉树，每个结点包含“数据域”和两个“指针域”（分别指向左孩子和右孩子），称为“二叉链”。

• 适合场景：所有二叉树（尤其是非完全二叉树，无空间浪费，灵活）；
• 缺点：无法像数组那样随机访问，需通过指针遍历。

结构定义（C语言）

// 二叉树的链式存储（二叉链）
typedef struct BinaryTreeNode {int data;                          // 结点数据struct BinaryTreeNode* leftChild;  // 指向左孩子的指针struct BinaryTreeNode* rightChild; // 指向右孩子的指针
} BTNode;

示例（二叉链结构）

对于结点[A, B, C, D]（A的左是B，右是C；B的左是D），二叉链的结构为：

A
├─ leftChild → B
│  ├─ leftChild → D
│  └─ rightChild → NULL
└─ rightChild → C├─ leftChild → NULL└─ rightChild → NULL

四、堆的概念与基础实现

堆是特殊的完全二叉树，也是二叉树顺序存储的典型应用（如优先队列、堆排序）

4.1 堆是什么？

我们已经有了完全二叉树，为什么还要定义“堆”？因为堆在“快速获取最大值/最小值”场景中效率极高——堆的根结点永远是“最大值（大堆）”或“最小值（小堆）”，无需遍历整个树就能获取极值。

4.2 堆的定义与核心条件

堆是满足以下两个条件的完全二叉树：

1. 结构条件：堆必须是一棵完全二叉树（保证可以用数组顺序存储，无空间浪费）；
2. 值条件（堆序性）：
   • 大堆：每个父结点的值 ≥ 其左右子结点的值（根是最大值）；
   • 小堆：每个父结点的值 ≤ 其左右子结点的值（根是最小值）。

4.3 堆的存储（数组顺序存储）

堆是完全二叉树，因此用数组存储最高效（无需额外指针，仅通过索引即可推导父子关系）。存储规则与完全二叉树一致，核心依赖“父、左孩子、右孩子的索引推导”：

• 数组索引从0开始；
• 对于序号为i的结点，可通过公式快速找到其亲属结点：
  • 父结点索引：(i - 1) / 2（整数除法，向下取整）；
  • 左孩子索引：2 * i + 1（若计算结果 < 堆的元素个数，则左孩子存在）；
  • 右孩子索引：2 * i + 2（若计算结果 < 堆的元素个数，则右孩子存在）。

示例1：大根堆的数组存储

大根堆的逻辑结构：根结点为70，左子结点30，右子结点56；30的左子结点25、右子结点15；56的右子结点10。

其数组存储结构为 [70, 30, 56, 25, 15, 10]（数组索引0~5对应元素），各结点的亲属关系推导如下：

数组索引	结点值	父结点（索引/值）	左孩子（索引/值）	右孩子（索引/值）
0	70	无（根结点）	2*0+1=1 / 30	2*0+2=2 / 56
1	30	(1-1)/2=0 / 70	2*1+1=3 / 25	2*1+2=4 / 15
2	56	(2-1)/2=0 / 70	2*2+1=5 / 10	无（2*2+2=6 ≥ 元素个数6）
3	25	(3-1)/2=1 / 30	无（2*3+1=7 ≥ 6）	无（2*3+2=8 ≥ 6）
4	15	(4-1)/2=1 / 30	无（2*4+1=9 ≥ 6）	无（2*4+2=10 ≥ 6）
5	10	(5-1)/2=2 / 56	无（2*5+1=11 ≥ 6）	无（2*5+2=12 ≥ 6）

示例2：小根堆的数组存储

小根堆的逻辑结构：根结点为10，左子结点15，右子结点56；15的左子结点25、右子结点30；56的右子结点70。

其数组存储结构为 [10, 15, 56, 25, 30, 70]（数组索引0~5对应元素），亲属关系推导更能体现“小根堆父结点≤子结点”的特性：

数组索引	结点值	父结点（索引/值）	左孩子（索引/值）	右孩子（索引/值）
0	10	无（根结点）	2*0+1=1 / 15	2*0+2=2 / 56
1	15	(1-1)/2=0 / 10	2*1+1=3 / 25	2*1+2=4 / 30
2	56	(2-1)/2=0 / 10	2*2+1=5 / 70	无（2*2+2=6 ≥ 6）
3	25	(3-1)/2=1 / 15	无（2*3+1=7 ≥ 6）	无（2*3+2=8 ≥ 6）
4	30	(4-1)/2=1 / 15	无（2*4+1=9 ≥ 6）	无（2*4+2=10 ≥ 6）
5	70	(5-1)/2=2 / 56	无（2*5+1=11 ≥ 6）	无（2*5+2=12 ≥ 6）

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