【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第三节 格林公式及其应用

上一节：【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第二节 对坐标的曲线积分
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1. 格林公式

• 单连通与复连通区域
  设 $D$ 为平面区域，若 $D$ 内任一闭曲线所围的部分都属于 $D$，则称 $D$ 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。
  通俗地说，平面单连通区域就是不含有“洞”（包括点“洞”）的区域，复连通区域是含有“洞”（包括点“洞”）的区域。
• 边界曲线的正向
  规定边界曲线 $L$ 的正向如下：
  当观察者沿 $L$ 的这个方向行走时，$D$ 内在他近处的那一部分总在他的左边。
• 格林公式
  设闭区域$D$由分段光滑的曲线$L$围成，若函数$P(x,y)$及$Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数，
  则有$$\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y,$$其中$L$是$D$的取正向的边界曲线。

  假设闭区域$D$既是$X$型又是$Y$型区域
  ∬D∂P∂xdxdy=∫ab{∫φ2(x)φ1(x)∂P∂ydy}dx=∫ab{P[x,φ1(x)]−P[x,φ2(x)]}dx=∫L1Pdx−∫L2Pdx=−∮LPdx\displaystyle\begin{aligned}\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial x} \mathrm{d}x \mathrm{d}y &= \int_{a}^{b} \left\{ \int_{\varphi_{2}(x)}^{\varphi_{1}(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{d}y \right\} \mathrm{d}x\\&= \int_{a}^{b} \left\{ P[x,\varphi_{1}(x)] - P[x,\varphi_{2}(x)] \right\} \mathrm{d}x\\&=\int_{L_1}P\mathrm{d}x-\int_{L_2}P\mathrm{d}x=-\oint_L P\mathrm{d}x\end{aligned}D∬​∂x∂P​dxdy​=∫ab​{∫φ2​(x)φ1​(x)​∂y∂P​dy}dx=∫ab​{P[x,φ1​(x)]−P[x,φ2​(x)]}dx=∫L1​​Pdx−∫L2​​Pdx=−∮L​Pdx​
  ∬D∂Q∂ydxdy=∫cd{∫ψ2(y)ψ1(y)∂Q∂xdx}dy=∫cd{Q[ψ1(y),y]−Q[ψ2(y),y]}dy=∫L1′Qdx+∫L2′Qdx=∮LQdy\displaystyle\begin{aligned}\iint\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial y} \mathrm{d}x \mathrm{d}y &= \int_{c}^{d} \left\{ \int_{\psi_{2}(y)}^{\psi_{1}(y)} \frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{d}x \right\} \mathrm{d}y\\&= \int_{c}^{d} \left\{ Q[\psi_1(y),y] - Q[\psi_2(y),y]\right\} \mathrm{d}y\\&=\int_{L'_1}Q\mathrm{d}x+\int_{L'_2}Q\mathrm{d}x=\oint_L Q\mathrm{d}y\end{aligned}D∬​∂y∂Q​dxdy​=∫cd​{∫ψ2​(y)ψ1​(y)​∂x∂Q​dx}dy=∫cd​{Q[ψ1​(y),y]−Q[ψ2​(y),y]}dy=∫L1′​​Qdx+∫L2′​​Qdx=∮L​Qdy​
  一般的情形可以通过用辅助曲线切割的方式，满足格林公式的条件，曲线积分会相互抵消

• 特例
  $$\begin{array}{rl}2\underset{D}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\oint }_{L}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x\\ & ={\oint }_L\left|\begin{array}{cc}x& y\\ \mathrm{d}x& \mathrm{d}y\end{array}\right|\end{array}$$左端表达的是闭区域$D$面积的两倍，
  右端表达的是从原点到边界点的向量与边界曲线切向量叉积的积分（叉积能表达以向量为边的平行四边形的面积），它度量了边界曲线相对于原点的“旋转”或“扫过”的面积。
  椭圆的参数方程$$\{\begin{array}{l}x=a\cos \theta \\ y=b\sin \theta \end{array}$$椭圆的面积为$$A=\frac{1}{2}{\oint }_{L}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }ab\mathrm{d}\theta =\pi ab$$
• 无重（chong）点曲线
  对于连续曲线 $L:x=\phi (t),y=\psi (t),\alpha \le t\le \beta$，
  如果除了 $t=\alpha ,t=\beta$ 外，当 $t_1\ne t_2$ 时，$(\phi (t_1),\psi (t_1))$ 与 $(\phi (t_2),\psi (t_2))$ 总是相异的，那么称 $L$ 是无重点的曲线。

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