三、多项式环
文章目录
- 一、多项式环的定义
- 二、多项式环的性质
- 1. 多项式加法
- 2. 多项式乘法
- 3. 满足的运算规律
- 4. 次数
- 5. 单位元
- 三、剩余多项式环（商多项式环）
- 四、有限多项式环
- 五、多项式环的性质与特性
- 1. 子环与理想
- 2. 不可约性和素性
- 3. 有限生成性
一、多项式环的定义
多项式环是抽象代数中一种重要的代数结构，基于一个环 R（通常是交换环）构造出关于一个或多个未知元（如 x,y,z）的 “多项式” 集合，并在其上定义加法和乘法运算，使其形成一个 新的环。
设 R 是一个环（通常是交换环，可能带有单位元 1），x 是一个形式上的未知元（变量）。R[x] 是 R 上 关于 x 的 所有多项式构成的集合。一个多项式
f
(
x
)
∈
R
[
x
]
f(x) \in R[x]
f(x)∈R[x] 的形式为：
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\ ...\ + a_nx^n
f(x)=a0+a1x+a2x2+ ... +anxn其中，
a
0
,
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
∈
R
a_0,a_1,a_2,...,a_n \in R
a0,a1,a2,...,an∈R，n 是非负整数 （可以是有限的，也可以是无限的，但通常是有限多项式），其中：
- a i a_i ai 称为 i 次项的系数
- x i x^i xi 成为 i 次项
- 如果最高次项的系数 a n ≠ 0 a_n \neq 0 an=0，则 n 称为 f(x) 的次数（degree），记作 d e g f ( x ) = n deg f(x) =n degf(x)=n。
二、多项式环的性质
1. 多项式加法
两个多项式按对应次数的系数相加，例如：
(
a
0
+
a
1
x
+
.
.
.
+
a
n
x
n
)
+
(
b
0
+
b
1
x
+
.
.
.
+
b
n
x
n
)
=
(
a
0
+
b
0
)
+
(
a
1
+
b
1
)
x
+
(
a
2
+
b
2
)
x
2
+
.
.
.
+
(
a
n
+
b
n
)
x
n
(a_0+a_1x+...+a_nx^n)+(b_0+b_1x+...+b_nx^n)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+...+(a_n+b_n)x^n
(a0+a1x+...+anxn)+(b0+b1x+...+bnxn)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+...+(an+bn)xn
2. 多项式乘法
两个多项式按多项式乘法规则相乘，例如：
(
a
0
+
a
1
x
+
.
.
.
+
a
n
x
n
)
⋅
(
b
0
+
b
1
x
+
.
.
.
+
b
m
x
m
)
=
c
0
+
c
1
x
+
.
.
.
+
c
n
+
m
x
n
+
m
(a_0+a_1x+...+a_nx^n) \cdot (b_0+b_1x+...+b_mx^m)=c_0+c_1x+...+c_{n+m}x^{n+m}
(a0+a1x+...+anxn)⋅(b0+b1x+...+bmxm)=c0+c1x+...+cn+mxn+m其中，
c
k
=
∑
i
,
j
i
+
j
=
k
a
i
b
j
c_k=\sum_{i,j}^{i+j=k}a_ib_j
ck=∑i,ji+j=kaibj。
3. 满足的运算规律
R[x] 继承了 R 的交换性（如果 R 是交换环），并满足结合律和分配律。
4. 次数
多项式 f(x) 的次数 degf(x) 是 f(x) 中最高非零项的指数。零多项式（所有系数为 0）的次数通常定义为 −∞ 或未定义（视上下文而定），以避免矛盾。
5. 单位元
如果 R 带有 单位元 1，则 R[x] 的 加法单位元 是 零多项式 0（所有系数为 0），乘法单位元 是常数多项式 1（0 次项的系数为 1，其他系数为 0）。
三、剩余多项式环（商多项式环）
多项式剩余换的表示为：
Z
[
x
]
/
(
ϕ
(
x
)
)
=
{
f
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
−
1
f
i
x
i
∣
f
i
∈
Z
}
Z[x]/(\phi(x))=\{f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}f_ix^i\ |\ f_i \in Z\}
Z[x]/(ϕ(x))={f(x)=i=0∑n−1fixi ∣ fi∈Z}其中 Z[x] 表示整数多项式环。
ϕ
(
x
)
\phi(x)
ϕ(x) 一般只取
x
n
+
1
x^n+1
xn+1。
实际上就是对一个多项式进行求模，例如，当取
n
=
4
n=4
n=4 即
ϕ
(
x
)
=
x
4
+
1
\phi(x)=x^4+1
ϕ(x)=x4+1 时：
f
(
x
)
m
o
d
ϕ
(
x
)
=
x
5
+
x
3
+
1
m
o
d
(
x
4
+
1
)
=
x
(
x
4
+
1
)
+
x
3
−
x
+
1
m
o
d
(
x
4
+
1
)
=
x
3
−
x
+
1
f(x)\ mod\ \phi(x)\\= x^5+x^3+1\ mod\ (x^4+1)\\=x(x^4+1)+x^3-x+1\ mod\ (x^4+1)\\=x^3-x+1
f(x) mod ϕ(x)=x5+x3+1 mod (x4+1)=x(x4+1)+x3−x+1 mod (x4+1)=x3−x+1
四、有限多项式环
有限多项式环，实际上就是剩余多项式环再对系数取模，表示为：
R
q
n
=
Z
q
[
x
]
/
(
x
n
+
1
)
R_q^n=Z_q[x]/(x^n+1)
Rqn=Zq[x]/(xn+1)其中包含的元素个数为
q
n
q^n
qn。
五、多项式环的性质与特性
1. 子环与理想
R[x] 中的子环包括 常数多项式子环（即 R 本身）。
理想（如主理想）在多项式环中有重要作用，例如 (x) 是 R[x] 中的一个理想，包含所有 x 的倍数多项式。
2. 不可约性和素性
在域 F 上的多项式环 F[x] 中，多项式可以分解为不可约多项式的乘积，这类似于整数的质因数分解。
3. 有限生成性
如果 R 是诺特环（Noetherian ring），则 R[x] 也是诺特环，这在代数几何中有重要应用。