算法题（198）：数字三角形

审题：
本题需要我们找到数字三角形中的最大路径总值，并输出

思路：
方法一：动态规划

由于本题的路径权值是路径上每一个值累加起来，问题具有阶段重复性，所以我们尝试使用动态规划解决此问题

（1）定义状态表示：f[i][j]表示从起点出发到（i，j）的最大权值

（2）求导状态转移方程：
我们先从最后一步开始分析，最后一步共有两条路线到达最后的节点，那么这两条路线中权值较大的那个路线+当前节点权值就等于结果权值

即：f[i][j] = max(f[i-1][j-1],f[i-1][j]) + a[i][j]

（3）初始化

由于我们的f[i][j]计算依赖于f[i-1][j-1]和f[i-1][j]，所以会有部分位置出现越界访问

图示：

左侧的所有节点都会出现越界访问情况

解决方法：从（1,1）开始记录数据与计算f数组

从（1,1）开始记录就不会出现越界访问的情况了，因为他们访问的就是外围的那一圈为0的值

第二个问题：如何确保不会将外围一圈的值当成较大权值路径去走？

我们先看数据范围，本题的数据值在0-100,所以我们初始化为0并不会让较大权值路径为外围一圈的节点。

如果题目的数据范围包含负数，那么我们就需要用最小的负数（-0x3f3f3f3f）来初始化所有值，以确保最大权值路径不会是不存在的那外围一圈

（4）填表顺序：从上至下

我们只要确保是从上到下进行计算就行，因为下一行的数据值是取决于上一行的数据值的

（5）输出答案

由于题目要求的是所有完整路径中的最大权值，所以我们最后还要遍历最后一行的所有f值，然后维护一个最大的值并输出

解题：
 

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];//f[i][j]表示从（1,1）走到（i，j）的最大累计权值
int r,a[N][N];
int main()
{cin >> r;for (int i = 1; i <= r; i++){for (int j = 1; j <= i; j++){cin >> a[i][j];}}//状态转移方程使用for (int i = 1; i <= r; i++){for (int j = 1; j <= i; j++){f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]) + a[i][j];}}//遍历最后一层的数据维护最终结果int ret = 0;for (int i = 1; i <= r; i++){ret = max(ret, f[r][i]);}cout << ret << endl;return 0;
}

P1216 [IOI 1994] 数字三角形 Number Triangles - 洛谷